Idrostatica e teoria sul moto dei pianeti

In questo appunto di Fisica si tratta la statica dei liquidi e le varie teorie sul moto dei corpi celesti.

La pressione

La pressione è una grandezza fisica il rapporto tra il modulo della forza F che agisce perpendicolarmente a una superficie S e l’area della superficie stessa :

Ad esempio, uno sciatore in equilibrio sugli sci non affonda nella neve perché la pressione degli sci sulla neve è inferiore rispetto alla pressione esercitata dagli scarponi.
La pressione aumenta proporzionalmente al diminuire della superficie e diminuisce proporzionalmente all’aumentare della superficie.

L’unità di misura nel Sistema Internazionale è il Pascal, Pa:

In natura, come è noto, la materia si può trovare sotto tre diversi stati di aggregazione:

• solido
• liquido
• gassoso.

Nel primo caso le forze interne (legami chimici) della sostanza mantengono inalterata la forma ed il volume del solido; nel caso di liquidi e gas, chiamati generalmente fluidi, i legami chimici permettono a tali sostanze di assumere la forma del recipiente che li contiene, con la differenza che un liquido sarà difficilmente comprimibile (liquidi incomprimibili) a differenza di un gas.
Analizzeremo la pressione nei fluidi.

Pressione idrostatica

La pressione idrostatica è la pressione esercitata da un fluido in equilibrio.
Tale pressione cresce proporzionalmente alla profondità e ad una profondità doppia la pressione sarà doppia, a una profondità tripla la pressione sarà tripla e cosi via.
Se calcoliamo la pressione che un fluido ideale esercita sul fondo di un recipiente avente volume V

dove

è la superficie di base di tale recipiente

è l’altezza di fluido in esso contenuto
in cui la massa del fluido è

dove

è la densità del fluido che occupa il volume

all’interno del recipiente
avremo che la pressione sul fondo del recipiente è data:

con

quindi

La quale rappresenta la Legge di Stevino.
La forma più completa di tale legge è

dove

rappresenta la pressione atmosferica o la pressione realizzata nella parte sovrastante il fluido.
Dall’espressione della Legge di Stevino si vede che la pressione esercitata da un fluido in quiete è direttamente proporzionale alla sua densità e varia linearmente con la profondità.

I vasi comunicanti

Supponiamo di avere un liquido incomprimibile e metterlo in vasi di diversa forma. L’esperienza ci mostra che esso raggiunge la stessa altezza in tutti i vasi. Allo stesso modo se i vasi sono riempiti con liquidi di diversa densità, vale allora la legge dei vasi comunicanti:
le altezze delle colonne di liquido in due vasi comunicanti sono inversamente proporzionali alla loro densità
ossia

Questa legge è usata ad esempio per il trasporto dell’acqua negli edifici e nei pozzi.

Il Principio di Pascal

Tramite una semplicissima esperienza di laboratorio Pascal osservò che un liquido incomprimibile contenuto in un’ampolla e compresso tramite un pistoncino mobile trasmette la pressione esercitata dal pistone su tutto il liquido che eventualmente fuoriesce da eventuali fori.
Tali osservazioni portarono Pascal ad elaborare un principio che afferma:
La pressione esercitata su una qualsiasi superficie del liquido incomprimibile si trasmette inalterata a ogni altra superficie a contatto con il liquido ed in tutte le direzioni.
In alternativa può essere enunciato nel seguente modo:
qualunque variazione di pressione in un fluido contenuto in un recipiente chiuso è trasmessa inalterata a tutti i punti del fluido e delle pareti del recipiente.
Sia

la superficie dell’estremità superiore di un condotto contenente un fluido incomprimibile, sulla quale viene esercitata la forza

e sia

la superficie dell’estremità inferiore del solito condotto di cui sopra sulla quale risulta la forza

, secondo il Principio di Pascal vale la seguente relazione:

Un esempio può essere l’elevatore idraulico dove i recipienti di differenti superficie di base contengono del liquido incomprimibile e sono messi in comunicazione tra loro tramite un tubicino sotterraneo.
Esercitando forza su uno dei due cilindri si ottiene l’innalzamento rispettivo del primo e del secondo.

Il Principio di Archimede

Il Principio di Archimede, chiamato anche Principio di galleggiamento, afferma che:
tutti i corpi immersi in un fluido ricevono una spinta verso l’alto uguale in modulo al peso del volume spostato dal corpo che si immerge.
Possiamo descrivere la spinta di Archimede come un vettore il cui modulo è

è la spinta di Archimede esercitata sul corpo

è la densità del fluido

è l’accelerazione di gravità

è l’altezza di corpo immersa

è la superficie a contatto col fluido

prende il nome di volume immerso La direzione della spinta di Archimede è verticale, mentre il verso è sempre opposto a quello del peso.
In base al Principio di Archimede si possono enunciare le condizioni di galleggiamento:
dato un corpo di massa

, densità d_c, volume

e peso

, immerso in un fluido di densità

• se
  [math]
  S_a \ge P_c
  [/math]
  allora il corpo sarà spinto verso l’alto e tenderà a galleggiare;
  in particolare dovrà essere
  [math]
  d_f \ge d_c
  [/math]
  ;
• se
  [math]
  S_a \le P_c
  [/math]
  allora il corpo tende ad affondare;
  in particolare si avrà
  [math]
  d_f \le d_c
  [/math]
  .

Nel caso di uguaglianza fra le due forze

si avrà equilibrio.

Le osservazioni astronomiche:

Osservando la volta celeste, il moto più evidente è quello del Sole.
Esso nasce ad Est e tramonta ad Ovest sviluppando l’arco la cui massima altezza si ha a mezzogiorno. Quest’ultima varia a seconda dei periodi, infatti la diversa durata del periodo di illuminazione determina il riscaldamento sulla Terra e l’alternarsi delle stagioni.
Il secondo movimento riguarda le Stelle, esse compiono una rotazione in meno di 24h intorno ad un asse diretto verso la stella polare. Si nota che le reciproche posizioni delle stelle non cambiano nemmeno in periodi molto lunghi , ragione per la quale gli antichi credevano che fossero delle stelle fisse. Possiamo dunque notare che il moto del Sole è composto da due moti:

• il moto giornaliero assieme alle stelle di 23h e 56’ in direzione Ovest
• il moto annuale in direzione Est intorno all’eclittica inclinata rispetto all’equatore celeste.

I pianeti presentano un moto più complesso essi sorgono e tramontano come il sole verso Est ma in certi periodi dell’anno, relativamente alle stelle, si muovono verso Ovest, movimento detto moto retrogrado per questo sulla Terra, la loro traiettoria, sembra essere intrecciata (il termine pianeta infatti per i greci significava intrecciato).

Il problema di Platone

Intorno al IV sec. a.C. la Filosofia greca e in modo particolare Platone, posero le basi per quella che divenne la Cosmologia Scientifica con l’obbiettivo di spiegare il moto dei corpi celesti, punti che divennero noti come il problema di Platone.

• L’universo è sferico perché il cerchio è la forma perfetta per eccellenza
• I moti di tutti i corpi celesti sono circolari e uniformi come quello delle stelle.
• Il moto dei pianeti è irregolare e deve derivare da una combinazione di moti circolari e uniformi.
• La Terra è una piccola sfera al centro dell’universo, che a sua volta è una sfera naturalmente più grande.

Sulla sfera esterna ruotano le stelle. Mentre il sole e i pianeti ruotano tra le due sfere. L’universo a due sfere da una spiegazione unitaria a tutte le osservazione fatte sul moto e sui corpi celesti, ma non spiega il moto dei pianeti né la posizione né le dimensioni.

Il modello geocentrico di Eudosso

Eudosso nel IV secolo a.C. propose il primo modello geocentrico: la Terra era al centro dell’universo nella sfera più interna e i pianeti, il Sole e le stelle ruotano intorno ad essa . Ogni pianeta, è posto su una sfera interna a un gruppo di sfere concentriche, tutte le sfere del gruppo sono collegate fra loro attraverso assi di rotazione inclinati.

L’universo aristotelico

Per Aristotele l’universo era costituito da 55 sfere cristalline concentriche con la Terra costituite da etere, la sostanza dei corpi celesti. In questo sistema la Terra era al centro dell’universo immobile. La sfera delle stelle fisse trascinava la sfera concentrica più vicina fino ad arrivare a quella della Luna che separava la regione terrestre (Terra) da quella sublunare (Uomo).
La grande differenza tra questo modello e gli altri è che Aristotele aveva formulato spiegazioni convincenti della sfericità, della stabilità della Terra al centro dell’universo. Il modello Aristotelico costituì per tutto il Medioevo il punto di riferimento della concezione dell’uomo.

Il modello Tolemaico ed i primi modelli eliocentrici

Tra il II e III secolo a.C. Ipparco e Apollonio svilupparono un modello che si basava sull’epiciclo: un piccolo cerchio che ruota attorno ad un punto C che a sua volta ruota su un secondo cerchio detto deferente. Questo sistema ripreso da Tolomeo spiegava approssimativamente il moto retrogrado e la posizione dei pianeti nel cielo.
I primi modelli eliocentrici trovano la loro origine nel terzo secolo avanti Cristo.
Fin dal V secolo a.C. molti filosofi tra cui lEucippo e Democrito proposero un universo infinito con al centro la Terra. Aristarco di Samo nel terzo secolo a.C. propose il primo modello eliocentrico, che non fu di successo perché contrastava il credo comune dell’epoca e tutti affermarono che : non vediamo alcun oggetto lanciato in aria a causa della forza centrifuga della rotazione terrestre, non esistono prove del moto diretto della Terra, cielo e Terra sembrano diversi perchè i corpi celesti sono luminosi ed eterni la terra è opaca e mutabile.

Il modello copernicano

nel XVI secolo Copernico riprese il modello eliocentrico e lo sviluppò completandolo rispetto a quello Tolemaico . Nel sistema Copernicano la Terra ruota attorno al Sole che si trova al centro dell’universo. Copernico riteneva che il suo modello, fosse un modello fisico corrispondente alla realtà fisica dei pianeti. Nel modello le orbite solo tutte circolari e la velocità dei pianeti è costante. Il moto è di tipo aristotelico: la terra è trascinata attorno al Sole da una sferica. Il modello si divide in moto di rotazione: la Terra compie una rotazione di 24 ore in direzione Est e le stelle, il Sole e la Luna da est verso Ovest, apparentemente determinati dal moto di rotazione giornaliero della terra.

Moto di Rivoluzione

La Terra in un anno compie un giro completo intorno al Sole. Questo moto creò vari problemi ai copernicani infatti se la Terra si muove a distanza di sei mesi le stelle, se osservati dai punti opposti dell’ellittica, dovrebbe essere leggermente diversi dando un effetto di parallasse. Ma fino al 1838 non è mai stato osservato alcun effetto di parallasse cosa che portò a pensare che: o che la Terra non si muovesse oppure che la distanza tra la Terra e le stelle fosse molto più ampia rispetto a quella ritenuta . L’accettazione di questa visione più ampia dell’universo portò gli astronomi conservatori a far resistenza alla concezione copernicana, poiché la visione dell’universo più enorme era stata avversata da Aristotele. La spiegazione copernicana è equivalente a quella fornita dal sistema tolemaico ma più semplice a livello qualitativo. Basta osservare il moto di un pianeta interno rispetto alle stelle fisse si nota che quando la Terra sorpassa il pianeta questo sembra muoversi ad ovest, nel verso opposto. Successivamente il pianeta sembra riprendere il suo moto normale. Inoltre, si spiega anche la maggior luminosità del pianeta nella fase retrograda. Inoltre un successo per Copernico fu il calcolo dei raggi delle orbite e del periodo di rivoluzione. Copernico per calcolare le distanze dei pianeti del sole utilizzo dati astronomici raccolti nel corso dei secoli e confrontando i raggi delle orbite con quello dell’orbita terrestre giunse a misurare i periodi di rivoluzione confrontando le frequenze di rotazione intorno al Sole dei pianeti e della Terra. Tuttavia la precisione del sistema copernicano era inferiore rispetto a quello tolemaico e dovette rinunciare alla semplicità del sistema di 7 epicicli illustrati nel ‘’De Rivolutionibus’’ aggiungendo eccentrici ed epicicli per farlo complicato come quello tolemaico quindi astronomicamente un fallimento. Infine, non riuscì ad elaborare spiegazioni convincenti e nuove per sostenere il moto della terra . Le sue argomentazioni sono tutte di tipo aristotelico, pertanto risulta essere una rivoluzione incompleta dal punto di vista fisico.

Le leggi di Keplero

Le leggi di Keplero Brahe e i suoi assistenti raccolsero dati astronomici dando un contributo fondamentale alla soluzione del problema del moto dei pianeti. Sui suoi dati lavorò Keplero. Brahe scoprì per la prima volta la supernova (una nuova stella ) la cui luminosità diminuì progressivamente fino a scomparire in 18 mesi. La comparsa di un nuovo corpo celeste di fatto contribuì a rendere più credibile il modello copernicano perché veniva a cadere quella differenza qualitativa tra cielo e Terra, che l’ipotesi copernicana del moto terrestre metteva in discussione. Altro fatto che mise ulteriormente in crisi l’idea delle sfere cristalline fu l’osservazione delle comete, che parevano spostarsi attraversando le sfere celesti.
Keplero però, si soffermò in particolare sulle osservazioni su Marte il cui moto aveva sempre presentato irregolarità mai spiegate fino ad allora. Dopo anni di lavoro Keplero passò ad analizzare separatamente le condizioni di circolarità e di uniformità del moto. E cercò di determinare con precisione l’orbita della Terra. Keplero trovò che l’orbita della Terra non era circolare, e dopo aver confrontato le distanze di Marte e il Sole dedusse che quest’ultima era una curva ellittica, formulando così la prima legge:
le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Successivamente Keplero elaborò una serie di ipotesi per mettere in relazione la forza del Sole, la velocità dei pianeti e la loro distanza dal Sole, giungendo ad enunciare la seconda legge:
la velocità degli orbitali dei pianeti non sono costanti ma seguono una legge per cui in tempi uguali sono uguali le aree spezzate dal raggio vettore che congiunge il Sole con il pianeta.
L’utilizzo contemporaneo delle due leggi si rivelò uno strumento decisivo per prevedere la posizione di un pianeta in un qualunque istante.
Il sogno di Keplero era di trovare una armonia del mondo : perciò si dedicò a ricercare una legge armonica che legasse tra loro i pianeti:
il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione T e il cubo del semiasse maggiore, a, dell’orbita R è costante

Le scoperte di Galileo

Galileo fece tesoro degli appunti di Keplero utilizzandoli dal suo punto di vista e nel 1609 costruì un telescopio facendo delle osservazioni astronomiche e giungendo alle conclusioni che:

• la Via Lattea è costituita da un numero enorme di stelle
• la Luna ha dei crateri e delle montagne come la Terra e attraverso la lunghezza delle loro ombre Galileo riuscì a misurarle scoprendo che sono dello stesso ordine di grandezza delle montagne della Terra
• il sole stesso presenta macchie scure che si spostano sulla sua superficie
• i satelliti di Giove sono dei piccoli corpi che mutavano la loro posizione rispetto a Giove esattamente come la Luna e la Terra
• Venere presenta delle fasi così come la Luna .

La rotazione di Coriolis

Diversi fenomeni sulla Terra sono dovuti alla rotazione terrestre : ad esempio le direzioni dei venti oppure un areo che si muove parallelamente lungo un meridiano subisce una forza apparente, ossia spostati o verso destra o sinistra a seconda che ci si trovi nell’emisfero settentrionale o meridionale. Questa forza è detta forza di Coriolis . Se consideriamo un tragitto di un aereo dall’Equatore al Polo Nord , la velocità cambierà a seconda delle zone che determinato da uno spostamento sempre più marcato verso destra rispetto al meridiano .

Per ulteriori approfondimenti sull'idrostatica vedi anche qua