Meccanica dei Fluidi - Le basi

Il termine FLUIDO indica ogni sostanza allo stato liquido o aeriforme ed è costituito da molecole tenute insieme da forze di coesione molto deboli, che pertanto possono spostarsi le une rispetto alle altre per lunghe distanze. Dal movimento delle molecole deriva la proprietà dei fluidi di non avere forma propria, ma di assumere sempre quella del recipiente.
I liquidi sono incomprimibili, cioè sono dotati di un volume proprio.
Da un punto di vista macroscopico, cioè indipendentemente dalla struttura molecolare discontinua, la meccanica dei fluidi si può considerare una meccanica dei sistemi continui. Essa studia le proprietà dell’equilibrio(fluidostatica) e le leggi del movimento(fluidodinamica). I primi studi sulla statica dei fluidi furono condotti da Archimede. L’assetto della meccanica dei fluidi cominciò ad essere stabilito solo verso la fine del XVI secolo, per opera di Simon Stevin e, nel XVII secolo, del francese Blaise Pascal e dell’italiano Evangelista Torricelli.


La meccanica dei fluidi è un ramo della fisica che si occupa del comportamento dei fluidi ossia delle sostanze liquide e gassose, dal punto di vista statico e dinamico. Si possono distinguere due rami diversi nell’ambito della meccanica dei fluidi: la Fluidostatica che si divide in statica dei gas e idrostatica, che studia le condizioni di equilibrio dei fluidi in quiete; e la Fluidodinamica, divisa in aerodinamica e idrodinamica, che si occupa in generale dei fluidi in moto. Il termine idrodinamica si applica più propriamente al flusso di liquidi o al flusso a bassa velocità di gas che possano essere considerati essenzialmente incomprimibili. L’aerodinamica, o dinamica dei gas, indaga invece il comportamento dei gas quando le variazioni di pressione sono sufficientemente alte da non permettere che vengano trascurati gli effetti della comprimibilità.


Una delle caratteristiche fondamentali di un fluido a riposo è che la forza esercitata su ciascuna delle particelle che lo costituiscono ha uguale intensità in tutte le direzioni. Ciò può essere compreso facilmente se si tiene conto che se le cosiddette forze interne fossero diverse, ogni particella si muoverebbe nella direzione della risultante di esse, e il fluido non sarebbe in quiete. Come conseguenza se il fluido è contenuto in un recipiente di forma qualunque, tutte le componenti della forza dirette tangenzialmente alle pareti sono bilanciate, quindi la forza per unità di area, cioè la
pressione, esercitata dal fluido contro le pareti è perpendicolare, in ogni punto, alle pareti stesse. Questa proprietà venne espressa per la prima volta in forma leggermente più estesa dal matematico e filosofo francese Blaise Pascal. Il secondo principio della fluidostatica, scoperto dal greco Archimede, afferma che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta idrostatica, diretta dal basso verso l’alto, di intensità pari al peso del volume di fluido spostato. Si può allora comprendere il motivo per cui alcuni corpi possono galleggiare.


Le leggi che regolano il comportamento dei fluidi in moto sono piuttosto complesse. L’interesse per la fluidodinamica risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare macchine adibite a varie funzioni. Archimede fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l’invenzione della pompa a vite. Gli ulteriori sviluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che, nonostante le numerose precoci applicazioni della fluidodinamica, poco o nulla si sapeva allora dei suoi principi teorici fondamentali. Evangelista Torricelli
inventò il barometro e formulò l’importante legge tuttora nota con il suo nome. La legge di Torricelli stabilisce la relazione tra la velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato nel recipiente che lo contiene, e l’altezza del liquido al di sopra di esso. I successivi progressi della meccanica dei fluidi si ebbero per opera del matematico
svizzero Eulero che scrisse le equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, cioè non viscosi.


Ogni corpo, indipendentemente dallo stato di aggregazione, sia esso solido, liquido o aeriforme, ha un certo volume e una certa massa. Due corpi diversi hanno, in genere, diverso volume e diversa massa, anche se la sostanza di cui sono costituiti è la stessa. Una proprietà caratteristica delle sostanze, cioè una grandezza che assume sempre lo stesso valore per corpi di massa e volume diversi purché sempre della stessa sostanza, è invece la densità, definita come il rapporto tra la massa di un corpo e il suo volume :




e la sua unità di misura è il . Spesso tuttavia la densità è espressa in , con




E’ necessario precisare i valori della pressione e della temperatura perché esse influenzano la densità di ogni sostanza, soprattutto quella dei gas e in misura minore quella dei solidi e dei liquidi. In generale la densità di un corpo diminuisce con l’aumentare della temperatura e aumenta con l’aumentare della pressione. La massa di un corpo, invece, rimane costante in entrambi i casi. Ogni volta che la massa non è distribuita in maniera omogenea nel volume di un corpo,
la densità varia localmente da un punto ad un altro del corpo e la sua equazione assume pertanto il significato di densità media.


Nella meccanica dei fluidi è utile definire una grandezza, la pressione, che esprime quanto una forza è “concentrata” su una superficie alla quale è applicata:

PRESSIONE
Se una forza agisce perpendicolarmente a una superficie, la pressione è la grandezza scalare definita come il rapporto fra l’intensità della forza e l’area della superficie:




come unità di misura ha il , che prende il nome di pascal (simbolo ):




Fuori dall’SI sono usati anche:
• Il bar, usato soprattutto in meteorologia, in particolare il suo sottomultiplo millibar;
• Il millimetro di mercurio, in simbolo o ;
• L’atmosfera, in simbolo , definita come la pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 76 cm al livello del mare, a 45° di latitudine e a 0°C.
Se la forza premente è distribuita uniformemente sulla superficie, l’equazione definisce il valore costante della pressione che agisce su ogni punto della superficie. In caso contrario la pressione varia da punto a punto e l’equazione rappresenta il suo valore medio sulla superficie.
Consideriamo una porzione di fluido in quiete contenuto in un recipiente. L’elemento considerato abbia ad esempio forma cilindrica e spessore molto piccolo, quale ad esempio quello di un foglio di carta: il fluido che circonda la porzione isolata eserciterà delle forze su quest’ultimo e poiché l’intera massa fluida si è supposta in quiete le forze esercitate sulle basi del cilindro si bilanceranno. Poiché il disco ha uno spessore infinitesimo, è possibile trascurare la differenza di profondità del fluido tra le due superfici: in queste condizioni la forza è indipendente dall’orientazione del disco, che possiamo considerare addirittura una sola superficie.
Vediamo ora come il concetto di pressione può essere utilizzato per analizzare le proprietà di un fluido in equilibrio.
Consideriamo un recipiente di forma sferica pieno d’acqua, munito di un’apertura che lo mette in comunicazione con un cilindro, in cui scorre, a perfetta tenuta, un pistone. Se, dopo aver praticato dei piccoli fori di uguale sezione sulla parete del recipiente, premiamo il pistone, il liquido zampilla perpendicolarmente alla parete, con velocità tanto più elevata quanto maggiore è l’intensità della forza applicata al pistone. Ciò vuol dire che la forza applicata al pistone aumenta la “pressione dell’acqua”. Questa pressione, inoltre, esercita una forza in tutte le direzioni. Infatti l’acqua zampilla indistintamente da tutti i fori, comunque sia orientata la loro superficie nello spazio. Infine, poiché l’acqua fuoriesce in ogni punto in direzione perpendicolare alla superficie del recipiente, possiamo anche affermare che la forza dovuta alla pressione dell’acqua agisce perpendicolarmente alle superfici con cui l’acqua è a contatto. Resta da stabilire con quale intensità la pressione applicata alla superficie del pistone si trasmette al liquido e alle pareti del recipiente. A questo scopo consideriamo due recipienti cilindrici di uguale sezione, muniti di un pistone e comunicanti fra loro. Se riempiamo con un liquido i due recipienti e appoggiamo un peso su uno dei due pistoni, notiamo che questo pistone si abbassa e l’altro si solleva. La forza si è così trasmessa da un recipiente all’altro. Per riportare i due pistoni all’altezza iniziale è necessario poggiare anche sul secondo pistone un peso uguale. Concludiamo perciò che una forza applicata su una superficie di un liquido si trasmette in tutte le direzioni all’interno del liquido e con la stessa intensità su superfici uguali. Ripetiamo ora l’esperimento con un dispositivo analogo in cui però le aree delle sezioni
dei due cilindri sono l’una il doppio dell’altra. Un peso appoggiato sul pistone del cilindro più stretto fa sollevare, come prima, il pistone del cilindro più largo, ma per riportare questo nella posizione iniziale bisogna ora spingerlo con una forza doppia. La forza esercitata dall’acqua sul secondo pistone ha dunque intensità doppia rispetto a quella applicata al primo. Così se l’area del secondo pistone è tre o quattro volte maggiore di quella del primo, l’intensità della forza agente su di esso ha intensità tripla o quadrupla. Dunque la forza trasmessa ad una superficie ha intensità
proporzionale all’area della superficie. In ogni caso, la grandezza che si trasmette con uguale valore da una superficie a
un’altra a contatto con il liquido è la pressione. Questa proprietà è caratteristica di tutti i fluidi in condizione di equilibrio (anche i gas) e il suo enunciato, dovuto a Pascal, può essere espresso nel modo seguente:

PRINCIPIO DI PASCAL
Una pressione esercitata su una superficie qualsiasi a contatto con un fluido in equilibrio si trasmette, con uguale valore, su ogni altra superficie a contatto con il fluido, qualunque sia la sua orientazione.

La pressione diventa così una grandezza che caratterizza lo stato di un fluido. Questo sistema costituisce un trasformatore di forza e prende il nome di torchio idraulico. Come abbiamo visto, questo dispositivo permette di trasmettere una forza da un punto ad un altro con intensità amplificata. Sul principio di Pascal si basa anche il funzionamento dei freni dell’automobile. Nei freni a tamburo la pressione esercitata dal piede sul pedale si trasmette, attraverso l’olio dei freni, alle ganasce. Queste sono premute contro il tamburo della ruota, che viene così frenata per attrito. Nei freni a disco, invece, la pressione fa stringere una pinza che rallenta, sempre per attrito, il disco collegato alla ruota.


A causa della gravità, gli strati superiori di un liquido premono quelli sottostanti con il risultato che la pressione in un punto all’interno del liquido dipende dalla profondità del punto rispetto alla superficie. Immergendo il dispositivo noto come capsula monometrica che consiste in una scatola di forma cilindrica, chiusa su una faccia da un pistone mobile collegato con una molla alla base fissa, in un liquido notiamo che il pistone comprime la molla, a dimostrazione dell’esistenza di una forza che lo spinge verso l’interno. Dalla deformazione della molla, se questa è stata precedentemente tarata, possiamo determinare l’intensità della forza agente sul pistone. Il rapporto fra questa e l’area del pistone è la pressione del liquido nel punto in cui si trova la capsula. Se ruotiamo la scatola, mantenendola sempre alla stessa profondità, osserviamo che la forza agente sul pistone ha sempre la stessa intensità. Ciò dimostra che la pressione è indipendente dall’orientazione della superficie su cui agisce. Con lo stesso dispositivo è possibile anche verificare che la pressione aumenta con la profondità. Si può verificare sperimentalmente che la pressione su un elemento di superficie all’interno di un liquido è dovuta al peso del liquido soprastante. A questo scopo, immergiamo verticalmente, in una vaschetta riempita con un liquido, un tubo di vetro aperto a entrambe le estremità. Mentre lo immergiamo, facciamo aderire alla sua estremità inferiore un sottile disco, tirandolo con un filo per non far passare il liquido. Se poi lasciamo libero il disco, vediamo che questo non si stacca. Evidentemente su di esso agisce una forza verso l’alto che lo spinge verso l’estremità inferiore del tubo. Se con cautela versiamo nel tubo del liquido della stessa natura di quello contenuto nel recipiente, il disco si stacca stacca solo quando il liquido versato raggiunge lo stesso
livello di quello nel recipiente. Questo dimostra che il liquido nel recipiente esercita sul disco, dal basso verso l’alto una forza uguale in intensità a quella esercitata in verso opposto dalla colonna di liquido. L’intensità di questa forza è data pertanto dal peso di una colonna di liquido di altezza uguale alla profondità del disco nel recipiente.

LA LEGGE DI STEVINO
Consideriamo un recipiente cilindrico, con area di base , contenente un liquido di densità . Se è l’altezza della colonna liquida, la sua massa è e il suo peso risulta:




Estendendo le conclusioni tratte dall’esperimento del tubo e del disco, possiamo affermare che tra la superficie superiore del liquido e la base del recipiente vi è una differenza di pressione dovuta al peso del liquido. Più in generale possiamo enunciare la seguente proprietà, nota come legge di Stevino:

VARIAZIONE DELLA PRESSIONE CON LA PROFONDITÀ
In un liquido di densità

[math]\rho[/math]

, in equilibrio, la pressione aumenta con la profondità e la differenza di pressione fra due punti separati da una distanza verticale

[math]h[/math]

è:

[math]\Delta p=\rho gh[/math]

La differenza di pressione espressa da questa espressione è nota come pressione idrostatica. In un recipiente aperto per avere la pressione a una certa profondità , è necessario aggiungere, per il principio di Pascal, alla pressione idrostatica la pressione esistente sulla superficie superiore del liquido, cioè la pressione atmosferica . Si ha perciò:




La legge di Stevino si applica ai fluidi incomprimibili e quindi, con buona approssimazione, ai liquidi. Le espressioni sopraccitate sono valide in generale, indipendentemente dalla forma del recipiente. Dobbiamo ricordare inoltre che la
pressione agisce su ogni superficie ideale all’interno del liquido e su tutte le pareti del recipiente.
Le leggi che regolano le variazioni di pressione nei fluidi sono diverse a seconda che questi ultimi si trovino allo stato liquido o gassoso, in quanto in generale le caratteristiche di comprimibilità sono diverse a seconda dello stato in cui si trova la materia fluida.
Distinguiamo quindi:
• VARIAZIONI DI PRESSIONE NEI LIQUIDI
• VARIAZIONI DI PRESSIONE NEI GAS

Per i liquidi, considerando pressoché costante, determineremo una legge di variazione della pressione che con il principio di Pascal ci permetterà di spiegare fenomeni sfruttabili per costruire strumenti di misura.
Per i gas potremo utilizzare le leggi trovate nel caso dei liquidi solo per piccoli volumi, in quanto nei gas la densità non è costante.


Poiché la pressione idrostatica dipende dall’altezza della colonna liquida e non dalla forma del recipiente, in tubi stretti e sufficientemente alti piccole quantità di liquido producono pressioni notevoli sulla loro base.
Questa proprietà conduce a un risultato curioso, noto come paradosso idrostatico della botte di Pascal. In una botte piena d’acqua, infiliamo attraverso il coperchio, un tubo molto lungo. Se versiamo dell’acqua nel tubo la pressione idrostatica dentro la botte aumenterà proporzionalmente all’altezza raggiunta. Quando infine le pareti non sopporteranno più la pressione esercitata su di esse dall’acqua, la botte si sfascerà. Pertanto, se il tubo è stretto, possiamo rompere la botte versando anche solo una piccola quantità d’acqua. Un’altra conferma dell’indipendenza della pressione dalla forma del recipiente possiamo ottenerla considerando tre recipienti di forma diversa aventi uguale base, di area , e riempiti di uno stesso liquido di densità fino ad un’altezza . Dalla legge di Stevino segue che la pressione idrostatica sul fondo è uguale nei tre casi e quindi anche la forza agente sulla base ha la stessa intensità . Si ha:




Dove abbiamo indicato con il volume del liquido contenuto nel recipiente di forma cilindrica. Poiché rappresenta la massa del liquido di questo recipiente, il suo peso è e quindi la precedente equazione può essere scritta anche come . In tutti e tre i recipienti quindi la forza dovuta alla pressione idrostatica, agente sul fondo, è uguale al peso del liquido del recipiente cilindrico.



La legge di Stevino ci permette di descrivere lo stato di equilibrio di liquidi contenuti in vasi comunicanti, cioè in recipienti di forma qualsiasi messi in comunicazione con tubi, normalmente in prossimità della base. Un tubo a u contiene due liquidi non miscibili di densità e diverse, i quali raggiungono, nei due rami del tubo, rispettivamente le altezze e . Sulla superficie di separazione dei liquidi agisce, dall’alto verso il basso, la forza dovuta alla pressione della colonna liquida di altezza e, dal basso verso l’alto, quella dovuta alla pressione della colonna di altezza . La
superficie è in equilibrio se le due forze hanno uguale intensità, e quindi se le due pressioni sono uguali. Le pressioni e esercitate sulla superficie dalle due colonne sono:




Da cui:




Pertanto, in due vasi comunicanti, due liquidi non miscibili raggiungono, in condizioni di equilibrio, altezze inversamente proporzionali alle densità. Se nei vasi si trova lo stesso liquido, essendo , è pure . Quindi, in condizione di equilibrio, un liquido contenuto in due o più vasi comunicanti si trova allo stesso livello in ciascuno di essi. La proprietà descritta perde la sua validità se i vasi sono capillari, cioè di sezione molto piccola.


Gli strumenti per la misura della pressione di un fluido contenuto in un recipiente sono i manometri, di cui esistono numerosi tipi, con principi di funzionamento diversi.

• I manometri a liquido: Misurano pressioni incognite sfruttando il fatto che la differenza di pressione è direttamente proporzionale alla profondità del fluido. Essi sono costituiti da un tubo ad U collegato ad una estremità alla pressione da misurare e l’altra è aperta all’aria: nel tubo è contenuto un liquido manometrico di densità conosciuta. Con questo tipo si misura la pressione differenziale o relativa che è data da dove è la differenza tra le estremità delle colonne di liquido nei rami del tubo. La pressione assoluta è quella realmente esistente entro il serbatoio e si ottiene da quella differenziale aggiungendovi misurata a parte.

• I manometri a deformazione: Misurano indirettamente la pressione attraverso le deformazioni prodotte da quest’ultima su opportuni rivelatori. Di solito queste deformazioni devono essere amplificate ed è difficile calcolare teoricamente la
relazione tra pressione e deformazione: per questa ragione i manometri a deformazione vengono tarati per confronto con altri tipi di più facile taratura, cioè quelli a liquido.