Appunti di Fisica matematica

Il presente documento costituisce la prima sezione della raccolta di appunti redatti integralmente a mano durante le lezioni frontali dell'insegnamento di Fisica matematica, impartite dal professor Claudio Carmeli nell'anno accademico 2025/2026.

Appunti riguardanti - Elementi di teoria dei vettori. Richiami di algebra vettoriale. Vettori liberi. Operazioni tra vettori: somma tra vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, doppio prodotto vettoriale. Scomposizione di un vettore. Vettori applicati. Vettore levogiro e destrogiro rispetto ad una retta orientata. Momento polare. Legge di variazione del momento polare. Risultante e momento risultante di sistemi di vettori applicati. Teorema di Varignon. Coppia di vettori. Indipendenza del momento di una coppia dal polo. Campi vettoriali: risultante e momento risultante. Momento assiale. Regola di calcolo del momento assiale. Invariante scalare. Asse centrale di un campo vettoriale a risultante non nullo. Equivalenza tra campi vettoriali. Sistemi equivalenti a zero. Riduzione di sistemi di vettori applicati. Primo e secondo criterio di riduzione. Campi vettoriali piani. Campi vettoriali paralleli. Centro di un campo vettoriale parallelo a risultante non nullo e proprietà di ubicazione. Geometria delle masse Sistemi materiali discreti e continui. Baricentro e proprietà di ubicazione. Caso del sistema omogeneo. Baricentro di alcune figure geometriche elementari. Momento d'inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Prodotti di inerzia. Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Ellissoide d'inerzia. Tensore d'inerzia. Assi principali (centrali) e terne principali (centrali) d’inerzia. Tensore d'inerzia di alcune figure elementari. Tensore di inerzia per sistemi piani. Cinematica Cinematica del punto materiale. Triedro di Frènet. Componenti intrinseche di velocità e accelerazione. Spostamento finito e spostamento infinitesimo. Moti uniformi e moti uniformemente vari. Moto circolare. Moti piani. Moto armonico. Cinematica dei corpi rigidi. Terna solidale. Moto rigido. Angoli di Eulero. Velocità angolare. Teorema di Poisson. Moti rigidi: traslatorio, rotatorio, rototraslatorio, elicoidale. Moti piani. Punto di vista Lagrangiano ed Euleriano. Atto di moto rigido. Teorema di Mozzi. Atto di moto rigido piano. Teorema di Chasles. Centro ed asse di istantanea rotazione. Elementi di cinematica relativa. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori. Teorema di Galilei. Teorema di Coriolis. Cinematica dei sistemi. Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Momento della quantità di moto in un atto di moto rigido (con dimostrazione). Derivata temporale del momento della quantità di moto. Energia cinetica. Energia cinetica in un atto di moto rigido (senza dimostrazione). Teorema di Koenig. Teorema delle forze vive. Sistemi vincolati Vincoli olonomi unilaterali/bilaterali, lisci, fissi/mobili, interni/esterni. Esempi di sistemi vincolati (asta con estremo vincolato su guida fissa; due aste vincolate in un sistema biella-manovella; punto vincolato su guida mobile). Grado di libertà: regola di calcolo per i sistemi olonomi. Spostamenti possibili e virtuali. Atti di moto e spostamenti rigidi virtuali. Coordinate lagrangiane. Sistemi labili, iperstatici e isostatici. Forza, lavoro e potenziale Concetto di forza ed esempi. Sistemi di forze (sistemi di vettori applicati). Sistemi equivalenti di forze. Lavoro elementare e lavoro lungo un cammino finito. Forze conservative ed esempi. Potenziali di forze conservative (forze costanti; forza peso; forze elastica). Energia potenziale. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di forze agenti su un corpo rigido. Lavoro di forze agenti su un sistema olonomo. Principio di conservazione dell'energia meccanica totale. Leggi della Meccanica Principi della Meccanica. Riferimenti inerziali. Equazione fondamentale della Dinamica (Equazione di Newton). Principio di azione e reazione. Principio di sovrapposizione delle forze. Determinismo meccanico. Sistemi di riferimento non inerziali. Forze apparenti. Postulato delle reazioni vincolari. Forze interne e forze esterne. Dinamica Dinamica del punto materiale. Dinamica del punto libero. Dinamica del punto vincolato. Moto di un punto su guida piana verticale liscia e fissa. Pendolo semplice (cenni alla discussione di Weierstrass). Dinamica dei sistemi. Equazioni cardinali della Dinamica nella prima forma