Fisica matematica - De Luca
Sabato 25 ottobre 2025 22:36
Teoria dei vettori
Un vettore è un ente caratterizzato da un modulo positivo, direzione e un verso.
Il modulo è la misura del segmento.
Un versore è il vettore di modulo unitario che ha direzione e verso divers.
Operazioni tra vettori
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
- Sia R e e vale che il modulo di la direzione dir( )=dir( e verso (
Somma di 2 vettori
- Sia V e la somma si effettua con la regola del parallelogramma.
Composizione di n-vettori
- Risultante dei vettori.
Componenti di lungo una retta r
- Componenti cartesiane di.
- Riferimento eortonormale levogiro. Un riferimento si dice levogiro quando un osservatore posto in O con il capo orientato in vede ruotare verso nel più breve modo possibile descrivendo una rotazione antioraria.
Ho scomposto P=(2;3;-1)=2
Prodotto scalare
- V il prodotto scalare tra due vettori restituisce uno scalare:,
- Il prodotto scalare si annulla se u v, cioè.
Se conosco le componenti, , allora.
Prodotto vettoriale
- È un'operazione che restituisce un vettore, ( vettore il cui modulo |, direzione perpendicolare al piano individuato da e e verso tale che { sia un riferimento levogiro.
Il prodotto vettoriale si calcola usando il determinante.
Il prodotto vettoriale è anticommutativo.
Doppio prodotto vettoriale
- Prodotto misto.
- , rappresenta la misura del volume del parallelepipedo avente come dimensioni i moduli, e.
Se i vettori sono complanari il prodotto misto si annulla e ci permette di verificare se una terna è levogira:
Vettori applicati
I vettori applicati sono coppie di elementi (P; dove P è detto punto d'applicazione e è un vettore.
Momento polare
Sia (P; un vettore applicato e T.
Si definisce, ovvero il prodotto vettoriale tra vettore spostamento e il vettore momento polare| e la direzione di è perpendicolare al piano individuato dai due vettori, e ha verso tale che la terna {(P-T); sia levogira.
Il momento polare è un vettore libero dove T rappresenta il polo, al variare del polo T, varia anche il momento polare.
Legge di variazione del momento polare al variare del polo
(P; ), T
Il momento polare rispetto ad S è:
Dimostrazione:
Il momento polare rispetto a T è: per definizione.
Fisica matematica Pagina 1
Il momento polare rispetto a T è: per definizione.
Il momento polare rispetto a S è:
Scomponendo il vettore (P-S) in (P-T) +(T-S) e sostituendo si ottiene.
Per la linearità del prodotto vettoriale è uguale a:, ma (P-T) è, pertanto.
Il momento polare è invariante rispetto al punto di applicazione del vettore preso lungo la sua retta di applicazione: se traslo il vettore lungo la sua retta d'applicazione il momento polare non cambia.
(Q-P)paralleli
I calcolo di |
Fin'adesso abbiamo parlato di vettori applicati presi singolarmente ma è possibile definire un sistema di vettori applicati.
Sistemi discreti
Di un sistema di definiscono 2 vettori caratteristici.
- Il vettore risultante.
- Il momento risultante.
Questi definiti sono vettori liberi, non hanno punto d'applicazione.
Sistemi continui
Il sistema è identificato con il dominio che occupa.
P elemento infinitesimo di dominio.
Come si scrive la legge di variazione del momento al variare del polo?
Dunque per i sistemi di vettori applicati, il momento non varia al variare del polo solo se.
Coppia di vettori
(A-T)(A-T+T-B) (non scrivo il polo perché il momento di una coppia di vettori non dipende dal polo)
Dunque il momento di una coppia di vettori è nullo se i due vettori si trovano sulla stessa retta di applicazione, cioè il braccio è nullo. In tal caso e la coppia di dice equivalente a 0.:
Sistemi di vettori applicati allo stesso punto
Per tali sistemi risulta e.
Teorema di Varignon
Dato un sistema di vettori applicati nello stesso punto P, il momento risultante rispetto a T' coincide con il momento rispetto a T che avrebbe il risultante se fosse applicato in P ( perché il risultante per definizione è un vettore libero).
Dimostrazione.
Per definizione il momento di un sistema di vettori è:
Essendo (P-T) indipendente da i è possibile portarlo fuori dalla sommatoria=(P-T), ma è per definizione, dunque=(P-T): è un elemento indipendente dal polo, definito come invariante scalare.
I =
Momento assiale = momento assiale, proiezione del momento polare su una retta e non dipende dal polo lungo la retta considerata.
Siano P; R, moltiplico per. . Dunque il momento assiale non dipende dal polo.
Asse centrale
Sia e a // tale che a = { A definisco la retta come l'asse centrale.
Dunque noto T e questa è un equazione vettoriale che ammette soluzione se e solo se cioè.
Risoluzione, , dunque per quanto detto prima (A-T)=
L'asse centrale si definisce come il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il momento ha il modulo minimo.
Sia A.
Ricavo che se ho un vettore applicato l'asse centrale è la retta su cui giace il vettore. Se ho più vettori applicati nello stesso punto, allora l'asse centrale passa per tale punto con direzione e verso della risultante.
Equivalenza tra sistemi di vettori applicati
Ci chiediamo se è possibile trovare un sistema di forze più piccolo ma con gli stessi effetti dinamici? Se si, com efaccio a trovare il migliore?
Dati e e siano i vettori caratteristici, dico che è equivalente a se e solo se.
Teorema
La dimostrazione '' " è ovvia, per la definizione di sistema ridotto le risultanti sono uguali e anche i momenti polari punto dello spazio, T è un punto dello spazio e pertanto la tesi è verificata.
Dimostro "Prendo P e scrivo la legge di variazione del polo:
Dunque.
Fisica matematica Pagina 2
Dunque.
Definizione
Se i vettori caratteristici del sistema sono nulli si dice che il sistema è equivalente a 0.
Primo criterio di riduzione
Qualunque sistema di vettori applicati si riduce allo studio di un sistema di 3 vettori:
Dimostrazione.
Dal momento che due sistemi sono equivalenti se i vettori caratteristici sono uguali si deve mostrare che e.
Innanzitutto +(risultante del sistema iniziale)
La risultante, dal momento che una coppia è del tipo allora.
Pertanto.
Ora si mostri che.
Di un sistema è per definizone = in tal caso è la somma tra il momento polare di e quello della coppia= essendo il momento polare di un singolo vettore è nullo per ipotesi, pertanto.
Secondo criterio di riduzione
Dimostrazione.
( ) è necessario suddividere in due casi.
- Allora I = per definizione è nullo perché è il momento polare di un singolo vettore applicato, pertanto I =.
- = }il vettore di una coppia è nullo, infatti allora essendo per definizione I =( ) ora l'hp è che I = 0 allora anche in questo caso è necessario suddividere due casi.
- I =0 perché allora (P, e pertanto = }
- I = 0, ma allora asse centrale /Ma se (dall'equazione dell'asse centrale) tenendo conto che per hp I =0, allora, pertanto.
Stabilire la massima riduzione possibile di un sistema di vettori applicati
Vettori caratteristici.
- I applico il Primo Criterio di riduzione:
- I = 0, ho 3 sottocasi:
- Coppia.
- Asse centrale.
- Sistema di vettori piani.
Un sistema di vettori piani ha I = 0 poiché risulta e dunque vale.
Sistema di vettori paralleli
Un sistema di vettori paralleli ha I = 0.
R =, dunque.
Caso, allora, con A.
Detto C il centro, risulta C - O = e vale che poiché i punti sull'asse centrale hanno e per quanto scritto sopra ciò equivale a con C.
Baricentro
Lo studio della teoria dei vettori ci serve nello studio della meccanica dei sistemi S = { (, punti dotati di una massa.
Prendiamo in esame il caso di un sistema di punti soggetti alla forza peso: è un sistema di vettori paralleli con .
In questo caso la massima riduzione è il caso 2.2: I = 0 e dunque il sistema con A detto, che chiameremo G: baricentro, G centro di baricentro di S.
Risulta (G - O ) = ( posizione sulla retta del centro )
Proprietà di ubicazione
Il centro rispetta le seguenti proprietà di ubicazione:
- : se tutti i punti del sistema appartengono ad uno stesso piano o ad una stessa retta, il baricentro anche vi deve appartenere. Appartenenza.
- : se il sistema presenta piani o rette di simmetria allora il baricentro deve appartenere al piano o alla retta di simmetria. Simmetria.
Per ogni punto riesco a trovare un altro punto equidistante dal piano, in tal caso il piano è detto diametrale coniugato alla direzione della retta passante per e.
Se la retta è perpendicolare al piano allora il piano è detto di simmetria.
L'intersezione tra due piani di simmetria è una retta di simmetria.
- : per calcolare il baricentro di un sistema complesso considero una partizione del dominio e calcolo il baricentro di ogni partizione, il baricentro del sistema è dato dal baricentro del sistema discreto di partizioni. Distributiva.
- Convessità: se il dominio occupato dal sistema è convesso, il baricentro è interno al dominio, se non è convesso il baricentro non è un punto materiale del sistema.
Teorema
Il baricentro non dipende dal centro del sistema di riferimento.
Dimostrazione.
Si prenda un sistema materiale discreto S e due sistemi di riferimento R ed R'.
Fisica matematica Pagina 3
In R il baricentro è G -O =
In R' il baricentro è G' - O ' =
Allora scomponendo il vettore G - G'.
G - G' = [ (G - O ) + (O - O') + (O' - G') ]
Quindi sostituendo ponendo un segno meno davanti a G' - O' si ottiene:
G - G' == G - G' = (O - O') =
Per un sistema continuo, S continuo, posso definire la fuznione densità con P, allora la massa del sistema m = e quindi il baricentro si definisce come G- O =
Se il sistema è omogeneo per cui e m = misura (D) e il baricentro è pari a G -O = = centro geometrico del dominio.
Tensori
Ricordando che la legge di cambio base caratterizza i vettori:
Tre scalari v, v, v sono le componenti di un vettore in R se e soltanto se nel passaggio da R a R' si trasformano secondo la legge del cambio di base:
31 2 3> Legge di cambio base:
Dati due sistemi di riferimento.
Allora le componenti di da R in R' si trasformano secondo la legge.
Dimostrazione
Si indichino come v, v, v le componenti di v in R1 2 3.
Si indichino come v, v, v le componenti di v in R'1' 2' 3'.
Tenendo conto che sono i coseni di vettori: (scalari)
I versori di R in R' sono.
Allo stesso modo i versori di R' in R sono =
Tenendo conto che v in R è rappresentato da sostituendo con.
Poiché questa è una combinazione lineare di cioè vettori indipendenti essa è zero se e solo se gli scalari sono zero e peraltro risulta che e dunque.
Definizione
Tensori n scalari si dicono componenti di un in R se e solo se al passaggio da R a R' si trasformano secondo la legge.
Tensore doppio
N.B. I vettori sono tensori di ordine 1.
Gli scalari sono tensori di ordine 0.
Un modo per rappresentare i tensori doppi è una matrice quadrata di ordine 3:
T = T è simmetrico:
T è antisimmetrico:
Va dunque definito il:
Prodotto tensionale
( è un tensore doppio.
Gli, cioè gli elementi che non variano al variare del riferimento, sono la somma dei minori principali di ordine 1,2,3 (N.B. sono i coefficienti del polinomio caratteristico).
Invarianti: =TRACCIA somma dei determinanti delle matrici 2 x 2: =: determinante di tutta la matrice = det T =
Operazioni
Prodotto con uno scalare
- Sia a uno scalare e T un tensore doppio allora il prodotto a è un tensore doppio(aT.
Somma tra tensori
- Siano A e B due tensori doppi allora (.
Le operazioni preservano l'ordine di un tensore, cioè i risultati sono sempre interni.
Saturazione
- Detta anche coronazione degli indici, è un modo per abbassare di 2 l'ordine del tensore.
N.B. Da un tensore doppio si ottiene uno scalare, cioè un tensore di ordine zero.
La saturazione di un tensore doppio è la sua traccia: i=j.
Prodotto interno
- È il prodotto tra un tensore ed un vettore e da come risultato un vettore la cui componente iesima è( si sviluppa come prodotto riga per colonna.
T =(
In generale non è commutativo, risulta esserlo solo se è simmetrico.
Se T è simmetrico> Teorema: ogni tensore doppio si scrive come somma tra un tensore simmetrico e uno antisimmetrico.
Dimostrazione costruttiva.
Si determini un tensore simmetrico:
Si determini un tensore antisimmetrico:
Endomorfismo
>Applicazione lineare dello spazio vettoriale in sè: T : V W→È: lineare.
La matrice associata ad un endomorfismo è una matrice rappresentativa di un tensore doppio.
Allo stesso modo se ho un tensore doppio posso are un endomorfismo dello spazio mediante un prodotto interno.
Fisica matematica Pagina 4
Allo stesso modo se ho un tensore doppio posso are un endomorfismo dello spazio mediante un prodotto interno.
Dimostrazione: è sufficiente dimostrare la linearità.
Difatti l'insieme di tutti i tensori doppi satura l'insieme di tutti gli endomorfismi.
Autovalori e autovettori
Sia un autovalore associato all'autovettore, allora.
Proprietà: se allora // ; se gli autovettori non sono compalanari .sistema lineare omogeneo.
Per trovare gli autovalori: ( cioè: invarianti principali: gli autovalori non dipendono dal sistema di riferimento.
Gli autovalori non cambiano al variare del riferimento.
Se è simmetrico, , allora gli autovalori sono reali, inoltre ad autovalori distinti corrispondono autovettori perpendicolari.sistema di riferimento autovalori.
Se è simmetrico allora è diagonizzabile: tale che T =detto "Sistema di riferimento principale".
E R è formato dagli autovettori normalizzati di, detti autodirezioni.
Momento d'inerzia
Sia (P;m) e r, si definisce momento d'inerzia rispetto a grandezza scalare sempre 0≥.
Per un sistema di punti S = { ( allora.
Se il sistema è continuo, allora S = {(P; e il momento d'inerzia si definisce come.
A noi interessa calcolare i momenti d'inerzia rispetto agli assi di un dato sistema di riferimento xyz e in particolare per un sistema continuo piano.
Tale calcolo consiste in:
Se il sistema è piano, quindi situato sul piano xy: si può definire dato che z è una retta.
Teorema di Huygens-Steiner
Il momento d'inerzia rispetto a una retta a, , è dato dal momento calcolato rispetto a una retta parallela ad a e passante per il baricentro G, più il momento d'inerzia che avrebbe il baricentro rispetto ad a se in esso fosse concentrata lamassa del sistema (il baricentro potrebbe non essere un punto materiale).
Dimostrazione.
Si prenda un sistema S ed un sistema di riferimento R.
Si calcoli il momento d'inerzia rispetto ad a.
Dove A è il punto di intersezione tra la retta e il piano A = asvolgere i quadrati== per definizione per definizione componenti nulle.
Componenti nulle: G - O =ma nel sistema di riferimento e, pertanto i due integrali sono nulli e pertanto.
Corollari
- Per due rette parallele generiche:
- Tutte le rette parallele tra di loro quella passante per il baricentro è quella rispetto a cui il momento d'inerzia è minimo:
Prodotto d'inerzia
> vers ( 1
Fisica matematica Pagina 5
1(P-O)=
Tale scrittura può essere abbreviata come prodotto d'inerzia: - non è altro che il prodotto tra la matrice d'inerzia e il vettore costituito dalle componenti del versore il risultato è un tensore doppio detto matrice quadrata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
