Area del parallelepipedo

In questo appunto viene descritta l'area del parallelepipedo. La realtà in cui viviamo è un mondo a tre dimensioni, le figure geometriche delle quali facciamo esperienza quotidiana non si estendono nel piano ma nello spazio. Gli edifici che si trovano nelle nostre città ci ricordano la forma del parallelepipedo, le strutture architettoniche come le tombe egizie ci ricordano la forma della piramide, il nostro pianeta ci suggerisce la forma della sfera, un barattolo di latta ha la forma di un cilindro.

Rivediamo in questo appunto il parallelepipedo, che è un prisma retto come il cubo. Descriviamo le sue caratteristiche e come calcolarne l'area.

Concetti primitivi ed assiomi della geometria solida

La geometria euclidea dello spazio, come la geometria del piano, segue il metodo assiomatico-deduttivo. Vengono assunti ancora come primitivi i concetti di punto, retta, piano e spazio; gli assiomi di appartenenza stabiliscono le relazioni fondamentali tra questi elementi primitivi.
Nello spazio è possibile stabilire la posizione reciproca di rette e di piani.
Due rette nello spazio possono essere complanari oppure trovarsi su piani diversi.
Due rette complanari sono:

• incidenti se si intersecano in un punto;
• parallele se non hanno alcun punto in comune;
• coincidenti quando tutti i punti di una retta sono anche i punti dell’altra.

Due rette che non sono complanari vengono dette sghembe e sono sempre prive di punti di intersezione perché appartengono a due piani diversi.
Una retta e un piano nello spazio possono:

• non avere punti in comune;
• avere in comune uno e un solo punto in comune, in questo caso si dicono incidenti oppure secanti;
• avere in comune almeno: in tal caso, la retta deve necessariamente a partire dal piano.

La posizione reciproca di due piani nello spazio è simile a quella delle rette:

• piani paralleli, in questo caso non hanno punti in comune;
• piani secanti, in questo caso la loro intersezione è una retta;
• piani coincidenti, in questo caso tutti i punti di un piano sono anche i punti dell’altro.

Per ulteriori approfondimenti su rette incidente e parallele vedi anche qua

Figure geometriche nello spazio

Chiamiamo figura nello spazio un sottoinsieme di punti nello spazio. Anche in questo caso assumiamo come primitivo il concetto di superficie chiusa nello spazio, così come nel piano abbiamo assunto come primitivo il concetto di linea chiusa.
Anche nello spazio si può definire il concetto di congruenza tra due figure tramite quello di isometria. Ricordiamo che un’isometria è una funzione biunivoca tra i punti dello spazio che conserva le distanze. Diciamo infatti che due figure solide sono congruenti se e solo se si corrispondono in una isometria.
Possiamo suddividere le figure solide in due gruppi: poliedri e solidi rotondi. La differenza sostanziale tra queste due famiglie di solidi è la forma delle loro superfici.
I poliedri hanno la superficie formata da poligoni. Sono poliedri i prismi i parallelepipedi e le piramidi.
I solidi rotondi hanno superficie curvilinea e sono generati dalla rotazione di figure piane intorno ad un loro lato. Sono solidi rotondi il cono, il cilindro e la sfera.
Il cono è generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad un suo cateto.
Il cilindro è generato dalla rotazione di un rettangolo intorno alla retta che contiene un suo lato che diventa poi asse del cilindro.
La sfera è generata dalla rotazione di un semicerchio intorno al suo diametro.
Vediamo quali sono gli elementi di un poliedro:

• abbiamo le facce, che sono i poligoni che costituiscono la sua superficie;
• ci sono gli spigoli, che sono i lati dei poligoni;
• poi i vertici, che corrispondono esattamente ai vertici dei poligoni;
• infine le diagonali, che sono i segmenti interni al poliedro che uniscono due vertici che non appartengono alla stessa faccia.

Il primo poliedro che si può formare è un tetraedro che è un solido con quattro facce triangolari.

Per ulteriori approfondimenti sui solidi di rotazione vedi anche qua

Parallelepipedo, un prisma retto

Un prisma è un poliedro che ha per basi due poligoni congruenti, questi due poligoni sono situati su piani paralleli tra loro. Le facce laterali di un prisma sono tutti parallelogrammi e ne sono tanti quanti sono i lati del poligono di base. Le due basi del prisma sono collegate tra di loro da segmenti che prendono il nome di spigoli laterali; gli spigoli di base sono invece i lati del poligono di base.
La diagonale di un parallelepipedo è funzione delle sue tre dimensioni. Per calcolare la lunghezza della diagonale bisogna estrarre la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni.

Quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ad entrambe le basi il solido venerdì definito prisma retto.
Il parallelepipedo è un prisma le cui basi sono due parallelogrammi.
Un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli si chiama parallelepipedo rettangolo
Il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo, avente tutti gli spigoli congruenti. Ogni faccia di un cubo è un quadrato; il cubo viene chiamato anche esaedro regolare.
Il numero delle facce di un parallelepipedo aumentano all'aumentare dei lati del poligono di base.
Ad esempio un prisma a base esagonale avrà come basi due esagoni regolari e sei facce laterali tutte a forma di rettangolo, per un totale di 8 facce.

Area di un parallelepipedo

Un parallelepipedo ha 6 facce: due sono le basi e quattro sono le facce laterali.
L’area totale di un parallelepipedo e dunque la somma delle aree di tutte le sue facce.
L’area di base indicata con

, è funzione della forma del poligono, che può essere un triangolo, un quadrato, un rettangolo o un qualsiasi altro poligono regolare.
L’area laterale indicata con

, si calcola moltiplicando il perimetro del poligono di base indicata con

per lo spigolo laterale che rappresenta l'altezza

del parallelepipedo. Scriviamo la formula dell’area lateral:

Per ottenere l’area totale indicata con

, basta sommare le due aree, moltiplicando per due quella di base: