Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Questo appunto di matematica riguarda la geometria. Ci concentreremo in maniera particolare sulla circonferenza, sui problemi nei quali si incorre quando si vuole determinarne la lunghezza fino alla formula che consente di farlo a partire dal raggio. Dopo la misura della lunghezza della circonferenza sarà la volta dell'area della superficie interna alla circonferenza, quella nota come cerchio. In entrambi i casi, sarà coinvolto pi greco,

un numero irrazionale la cui importanza fu messa in luce proprio dagli Antichi Greci.

Dopo aver parlato di archi e settori circolari, vedremo che vi sono almeno due modi per misurare l'ampiezza degli angoli: i gradi, quello a cui siamo più abituati e i radianti, che coinvolgono la lunghezza della circonferenza.

La misura della lunghezza di una circonferenza

In questo paragrafo affronteremo un problema che ha interessato le menti dei matematici fin dall'antichità: come si calcola la circonferenza di un cerchio?

Come sai, la circonferenza è una linea tonda. Poiché essa non si può rappresentare né come un segmento né come una poligonale, che non è altro che un insieme di segmenti, calcolare la sua lunghezza non è mai stato molto intuitivo.

Dal momento che sembrava molto difficile ottenere una misurazione precisa della lunghezza di una circonferenza, si è pensato di approssimarla, inscrivendo in essa dei poligoni regolari. In figura è rappresentata una parte di questo processo di approssimazione. Come vedi, al crescere del numero dei lati, il perimetro della figura inscritta è sempre più vicino alla lunghezza della circonferenza.

La misura del perimetro del poligono inscritto rappresenta un'approssimazione per difetto della misura della lunghezza della circonferenza.

In modo analogo, si può pensare di operare il processo inverso. Si possono cioè considerare dei poligoni regolari circoscritti alla circonferenza della quale si vuole misurare la lunghezza del perimetro. Questa volta, i perimetri dei vari poligoni rappresenteranno un'approssimazione per eccesso della lunghezza della circonferenza. Ma, come nel caso precedente, questa approssimazione sarà sempre migliore al crescere del numero dei lati di cui sono composti i poligoni.

In altri termini, i valori che approssimano per difetto la lunghezza della circonferenza diventano via via maggiori al crescere del numero dei lati del poligono; viceversa, i valori che ne approssimano la lunghezza per eccesso decrescono al crescere del numero di lati. Gli uni e gli altri tenderanno, cioè si avvicineranno, ad una quantità ben precisa: questa quantità è proprio la lunghezza della circonferenza che stiamo cercando.

Come è noto, esiste una relazione tra il lato di un poligono regolare ed il raggio delle circonferenze inscritta e circoscritta, qualsiasi sia il numero dei lati di cui è costituito il poligono. Dal momento che il perimetro del poligono si avvicina sempre di più alla lunghezza della circonferenza, possiamo affermare che anche il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro è costante e ha per simbolo il pi greco.

Vale cioè:

A partire da questa relazione, possiamo ricavare la misura della lunghezza della circonferenza:

Pi greco è un numero irrazionale, cioè un numero decimale illimitato non periodico, con un numero di cifre dopo la virgola infinito. Di seguito ne riportiamo solo alcune:

Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza vedi anche qua

Misura dell'area della circonferenza

In questo paragrafo ci occuperemo di pervenire ad una formula per il calcolo dell'area del cerchio, cioè la superficie contenuta all'interno di una circonferenza.

Per ottenere la misura dell'area del cerchio, possiamo ragionare in maniera analoga a quanto fatto per il calcolo della lunghezza della circonferenza. Possiamo, cioè, ancora utilizzare i poligoni regolari inscritti e quelli circoscritti: questa volta, però, anziché concentrarci sul perimetro di tali poligoni, ci interesseremo ai valori delle loro aree.

All'aumentare del numero dei lati dei poligoni, i valori delle aree dei poligoni inscritti e dei poligoni circoscritti si avvicinano sempre di più, e tendono ad un quarto del valore di pi greco.

Si può dimostrare che il rapporto tra l'area dei poligoni e il quadrato della misura del diametro è costante; di conseguenza, sarà costante anche il rapporto tra l'area della circonferenza ed il quadrato del suo diametro.

A partire da questa relazione, otteniamo:

Lunghezza di un arco

In questo paragrafo vedremo cosa si intende per arco di circonferenza e quale formula consente di calcolarne la lunghezza.

Un arco di circonferenza non è altro che una porzione di circonferenza delimitata da due punti. La lunghezza di un arco di circonferenza è strettamente legata a quella del corrispondente angolo al centro.

Consideriamo una circonferenza di raggio r; essa può essere considerata come un arco corrispondente ad un angolo di 360°. A partire da questa osservazione, possiamo impostare una semplice proporzione. Chiamiamo l la misura della lunghezza di un arco, e alfa la misura (in gradi) del corrispondente angolo al centro. Otteniamo

A partire da questa formula, possiamo ricavare la lunghezza di un arco:

Area di un settore circolare

In questo paragrafo ripasseremo la definizione di settore circolare e vedremo come calcolarne l'area.

Così come abbiamo visto un'analogia tra la lunghezza di una circonferenza e quella di un suo arco, si può facilmente immaginare l'esistenza di un legame tra la formula che consente di calcolare l'area del cerchio e quella per determinare l'area di un settore circolare. Si definisce settore circolare una porzione di cerchio delimitata da due raggi e da un arco di circonferenza.

Le aree dei settori circolari sono direttamente proporzionali agli angoli al centro ad essi corrispondenti.

Anche in questo caso, quindi, possiamo impostare una proporzione; indicata con S l'area del settore circolare, si ha:

In base a questa osservazione, possiamo facilmente ricavare la formula per l'area di un settore circolare

, a cui corrisponde un angolo al centro di ampiezza

Gradi e radianti

In questo paragrafo ripercorreremo i modi più celebri per misurare l'ampiezza di un angolo: i gradi ed i radianti.

La misurazione più classica dell'angolo è quella in gradi sessagesimali, nota fin dai tempi dei Babilonesi. Si prende l'angolo giro e lo si divide in 360 parti: ciascuna di queste parti corrisponderà ad un angolo di ampiezza pari ad un grado (1°).

La misura dell'angolo in radianti è, invece, più direttamente legata alla geometria. La misura di un angolo in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza dell'arco sotteso proprio da quell'angolo e la misura del raggio della circonferenza.

Prendiamo il caso di una circonferenza di raggio unitario e scegliamo un arco di lunghezza pari a tutta la circonferenza. La lunghezza dell'arco è pari a

che, in questo caso, è pari a

. L'angolo giro avrà quindi ampiezza pari a

radianti.

Per convertire in gradi una misura di angolo in radianti, o viceversa, si può utilizzare una proporzione:

Attraverso questa proporzione, se è nota la misura in radianti si può calcolare velocemente quella in gradi, e viceversa.

Per ulteriori approfondimenti sulla misura di angoli e di archi vedi anche qua