Nel seguente appunto tratteremo la definizione di rette perpendicolari e rette parallele; dando anche una serie di esempi e spiegazioni in cui questi concetti geometrici sono molto presenti. La retta è uno degli enti primitivi di Euclide, assieme al punto e al piano, quindi non ha una definizione vera e propria. Una definizione informale è che essa è un insieme infinito di punti che percorrono la stessa direzione. Vediamo quando due rette sono parallele e quando sono perpendicolari.
Indice
Rette parallele: definizione
Date due rette
diremo che
è parallela a
(in simboli
) se le due rette non hanno alcun punto in comune (oppure sono coincidenti).
Sicuramente, quindi, se due rette sono parallele, allora non si incontreranno mai.
Rette perpendicolari: definizione
Date due rette
diremo che
è perpendicolare a
(in simboli
se tutti e quattro gli angoli formati dal punto di intersezione delle rette sono retti (ossia di ampiezza pari a
). Naturalmente affinché due rette siano perpendicolari devono essere incidenti, cioè con un punto in comune.
Rette perpendicolari e parallele: configurazioni geometriche ricorrenti
Ricordiamo che la retta è uno degli enti primitivi introdotti per la prima volta negli elementi di Euclide. Per approfondimenti sugli elementi di Euclide vedi anche qua.
Di seguito visioneremo un elenco di definizioni, teoremi, proprietà della geometria euclidea all'interno delle quali entrano in gioco le definizioni di rette parallele (o perpendicolari):
- Due rette incidenti si dicono tra loro perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti. I quattro angoli risultano congruenti in quanto ciascuno di essi avrà misura [math]\frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}[/math], che è proprio l'ampiezza di un angolo retto.
- Per un punto passa una e una sola retta perpendicolare a una retta data. Questa affermazione è vera per il teorema dell'unicità della perpendicolare. Per approfondimenti sul teorema della perpendicolare, vedi anche qua.
- Si chiama altezza di un triangolo, relativa a un lato, il segmento perpendicolare condotto da un vertice alla retta contenente il lato opposto.
- Le rette delle altezze si incontrano in un punto chiamato ortocentro, che è uno dei principali punti notevoli di un triangolo.
- Si chiama mediana di un triangolo, relativa a un lato, il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto. La mediana di un triangolo è perpendicolare ad un lato se tale lato è la base di un triangolo isoscele.
- Le tre mediane si incontrano in uno stesso punto interno al triangolo detto baricentro, anch'esso punto notevole di un triangolo.
- Si chiama bisettrice di un triangolo, relativa a un angolo, il segmento di bisettrice compreso tra il vertice e il lato opposto. Una bisettrice è una retta che divide un angolo in due parti congruenti.
- Le tre bisettrici di un triangolo si incontrano in uno stesso punto interno al triangolo detto incentro, un altro punto notevole.
- In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è altezza e mediana relativa alla base.
- In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice dell’angolo al vertice. Questa affermazione è un modo alternativo di scrivere l'affermazione contenuta nel punto precedente.
- Due rette distinte [math]r,s[/math], entrambe perpendicolari a una stessa retta[math]t[/math]non hanno alcun punto in comune. Infatti, tali rette dovranno necessariamente essere parallele in quanto formano gli stessi angoli quando si intersecano con la retta[math]t[/math]. Quindi, a meno che[math]r,s[/math]non siano coincidenti, saranno necessariamente parallele e privi di punti in comune.
- Due rette di uno stesso piano si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune. Se invece due rette appartengono a due piani distinti, si diranno sghembe.
- Ogni retta è parallela a se stessa. Infatti ogni retta ha la stessa direzione di se stessa e coincide con se stessa per infiniti punti.
- Per un punto passa una e una sola retta parallela a una retta data.
- Due rette parallele a una terza sono tutte e tre parallele tra loro. Questa affermazione è vera per transitività.
- Se due rette [math]r[/math]e[math]s[/math]sono parallele, allora ogni retta[math]t[/math]che interseca l’una interseca anche l’altra, salvo che[math]t[/math]non coincida con almeno una delle rette[math]r,s[/math]. Se le tre rette sono distinte, questa affermazione è sicuramente vera.
- Rette parallele a due rette che si intersecano si intersecano a loro volta. Questo accade perché sarebbe equivalente a traslare le rette in questione.
- Se due rette in un piano formano con una trasversale: due angoli alterni interni o esterni congruenti. Oppure: angoli corrispondenti congruenti. Oppure: due angoli coniugati supplementari allora le due rette sono parallele. Vale anche il viceversa, ossia: è possibile stabilire delle certe uguaglianze di angoli qualora dovessero esserci due rette parallele [math]r,s[/math]tagliate da una trasversale[math]t[/math], come vedremo nel punto successivo.
- Se due rette sono parallele, tagliate da una trasversale, formano con essa angoli alterni interni o esterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati supplementari.
- Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all’una è anche perpendicolare all’altra. Questa è una conseguenza dei punti precedenti se consideriamo tali perpendicolari come delle rette trasversali che tagliano tali rette.
- Due rette perpendicolari a due rette incidenti sono incidenti.
- Due angoli aventi i lati paralleli e concordi o paralleli e discordi sono congruenti; due angoli aventi due lati paralleli e concordi e due lati paralleli e discordi sono supplementari. Due lati si dicono concordi se giacciono da una stessa parte rispetto alla retta congiungente le loro origini, viceversa sono discordi se giacciono da parti opposte rispetto alla retta congiungente le loro origini.
- Assioma di Euclide: data una retta [math]t[/math]e un punto[math]P[/math]del medesimo piano, la retta parallela a[math]t[/math]passante per[math]P[/math]è unica.
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