In questo appunto vengono presentati i solidi platonici, ossia dei poliedri aventi come facce dei poligoni regolari.
Ogni poliedro verrà corredato da un'opportuna descrizione, oltre all'interessante dimostrazione della limitatezza dei solidi platonici: essi infatti non sono infiniti, bensì solamente cinque.
I solidi platonici sono: tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro, icosaedro.
Ogni poliedro regolare soddisfa la relazione:
[math]V-S+F=2[/math]
(detta relazione di Eulero), dove [math]V, S, F[/math]
sono rispettivamente il numero di vertici, di spigoli e di facce di un certo poliedro.
Indice
Poligono regolare: definizione
Un poligono regolare è una figura piana che soddisfa le seguenti due caratteristiche: è equilatero ed equiangolo. Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti, e si dice equiangolo se ha tutti gli angoli congruenti.
Tetraedro: caratteristiche e proprietà
Il nome tetraedro deriva da tetra, che vuol dire quattro. Infatti, il tetraedro è un poliedro dotato di quattro facce triangolari (più specificatamente si parla di triangolo equilatero), sei spigoli e quattro vertici. Può esser visto come una "piramide avente come base un triangolo equilatero". Nel tetraedro, per quanto detto prima, si ha[math]V=4, S=6, F=4[/math]
, e sostituendo tali valori nella relazione di Eulero, si ottiene [math]V-S+F=4-6+4=2[/math]
, che viene verificata da tale solido. Secondo Platone, il tetraedro era il simbolo del fuoco. Una proprietà interessante del tetraedro regolare è la seguente: se si considera il solido avente come vertici i centri delle facce del tetraedro (ossia il cosiddetto duale), si ottiene ancora una volta un tetraedro, più piccolo.Inoltre, dato un tetraedro di lato
[math]s[/math]
, il suo volume è espresso dalla relazione [math]V=s^3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}[/math]
.Non è raro trovare una struttura di tipo tetraedrico in natura: ad esempio, tale struttura, è caratteristica di alcune molecole come ad esempio il metano.
Per approfondimenti sulla geometria molecolare tetraedrica, vedi anche qua
Esaedro: caratteristiche e proprietà
La parola esaedro deriva da esa, che significa sei. Tale poliedro, simbolo della terra, è dotato di sei facce a forma di quadrato, infatti, esaedro e cubo sono sinonimi. Utilizzando la notazione definita sopra, si ha[math]V=8, S=12, F=6[/math]
. Andando a sostituire i valori qui riportati all'interno della relazione di Eulero si ottiene ancora una volta [math]V-S+F=8-12+6=2[/math]
.A differenza del tetraedro, tuttavia, il solido avente come vertici i centri delle facce dell'esaedro, non è un esaedro esso stesso, bensì, un ottaedro. Dato un esaedro di lato
[math]s[/math]
, il suo volume è notoriamente pari a [math]V=s^3[/math]
.
Ottaedro: caratteristiche e proprietà
Come suggerisce il termine, l'ottaedro, simbolo dell'aria, è un poliedro a otto facce. Come abbiamo già discusso nel paragrafo precedente, è il duale del cubo. Infatti, ottaedro e cubo hanno numero di vertici e facce scambiate. Se il cubo ha infatti 8 vertici e 6 facce, l'ottaedro avrà invece 8 facce e 6 vertici: questo perché ad ogni faccia del cubo corrisponde un vertice dell'ottaedro (e viceversa, dato che l'ottaedro e il cubo sono duali). Le facce dell'ottaedro sono triangoli equilateri: esso potrebbe essere visto come "due piramidi a base quadrata incollate per la loro base".Per quanto detto prima, si ha quindi, nel caso dell'ottaedro:
[math]V=6, S=12, F=8[/math]
, valori che sostituiti nella relazione di Eulero restituiscono l'uguaglianza [math]V-S+F=6-12+8=2[/math]
, nuovamente verificata. Il volume di un ottaedro avente spigolo [math]s[/math]
si calcola con la formula [math]V=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot s^3[/math]
.
Dodecaedro: caratteristiche e proprietà
Il dodecaedro è un poliedro che, se visto, sembra quasi un pallone da calcio. Si tratta di un poliedro dotato di 12 facce, 30 spigoli, 20 vertici. Le facce del dodecaedro hanno come forma dei pentagoni regolari. Anche questo poliedro verifica la relazione di Eulero per i solidi platonici, dato che per questo poliedro si ha[math]V=20, S=30, F=12[/math]
, sostituendo tali valori otteniamo [math]V-S+F=20-30+12=2[/math]
. Simbolo dell'universo, ha anche lui il relativo poliedro duale: ossia l'icosaedro. La formula per il calcolo del volume di un dodecaedro è molto particolare, difatti in un dodecaedro di spigolo [math]s[/math]
, il volume [math]V[/math]
è dato da [math]V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot s^3[/math]
.
Icosaedro: caratteristiche e proprietà
L'icosaedro è forse il solido platonico più complesso. Tale poliedro è composto da 12 vertici, 30 spigoli, 20 facce a forma di triangolo equilatero. Come nella relazione cubo-ottaedro, anche icosaedro e dodecaedro sono duali, infatti il dodecaedro ha 12 facce e 20 vertici, mentre l'icosaedro ha 12 vertici e 20 facce. Nell'icosaedro è quindi verificata la relazione di Eulero in quanto ponendo[math]V=12, S=30, F=20[/math]
si ha [math]V-S+F=12-30+20=2[/math]
.Era per gli antichi il simbolo dell'acqua, e la formula per determinare il volume di un icosaedro è anch'essa molto complessa.
Infatti un icosaedro di spigolo
[math]s[/math]
ha volume [math]V=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}s^3[/math]
.
Perché i solidi platonici sono solamente 5?
Diamo una dimostrazione di questo fatto. Premesso che i solidi platonici hanno la proprietà di avere come facce solo poligoni regolari e che in ogni vertice devono confluire almeno 3 facce, ricordiamo che l'ampiezza di un angolo giro è[math]360^{\circ}[/math]
. Un poligono regolare di [math]n[/math]
lati ha gli angoli interni che misurano [math]180^{\circ} \cdot \frac{n-2}{n}[/math]
, tale funzione cresce all'aumentare di [math]n[/math]
e assume il valore [math]120^{\circ}[/math]
per [math]n=6[/math]
. Se [math]n>6[/math]
allora l'angolo interno di un n-agono regolare avrebbe ampiezza maggiore di [math]120^{\circ}[/math]
e in particolare se [math]\alpha > 120^{\circ}[/math]
allora [math]3 \alpha > 360^{\circ}[/math]
, sarebbe quindi impossibile costruire un solido platonico con delle facce aventi un numero di lati maggiore di 6.Per approfondimenti sul calcolo degli angoli interni di un poligono regolare, vedi anche qua
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