In questo appunto vengono trattate le isometrie: viene fornita una definizione di tale termine e vengono proposti alcuni teoremi; i teoremi riguardano rette, triangoli, angoli e figure geometriche perciò ogni teorema sarà preceduto da una breve spiegazione dell’elemento in esso presente.
La trasformazione geometrica consiste nel trasformare un punto in un altro, secondo precise condizioni.
Nelle trasformazioni geometriche ha un rilievo importante l'isometria poichè ha la caratteristica di mantenere invariate le dimensioni.
L'isometria è una trasformazione geometrica che fa corrispondere ad una coppia di punti A e B una coppia di punti sullo stesso piano A' e B', tali che il segmento AB sia congruente al segmento A'B', da tale affermazione si può comprendere il motivo per il quale l’isometria non modifica le dimensioni degli oggetti.
Isometria: le rette
La retta è il luogo geometrico dei punti disposti lungo la stessa direzione, la retta è quindi formata da un numero infinito di punti e si estende in modo infinito (essa non ha nè un inizio ne una fine).
Teorema 1: Un'isometria trasforma rette in rette.
L’isometria è una trasformazione che mantiene inalterate le distanze; consideriamo una retta e consideriamo una qualsiasi coppia di punti appartenenti alla retta, l’elemento che si ottiene attraverso la trasformazione geometrica è quell’elemento in cui vengono mantenute le distanze tra le coppie di punti considerate, tale relazione vale per ogni coppia di punti che si considerano nella prima retta.
L’isometria quindi trasforma una retta in un elemento caratterizzato dall’avere i punti nella stessa disposizione dei punti di partenza perciò i punti saranno disposti tutti lungo una precisa direzione e quindi l’elemento che si ottiene è a sua volta una retta.
Due rette possono essere disposte in diversi modi:
- due rette si dicono incidenti se hanno un punto in comune
- due rette si dicono parallele se non hanno nessun punto in comune
- due rette si dicono coincidenti se hanno tutti i punti in comune, le due rette sono sovrapposte.
Seguendo lo stesso ragionamento fatto per il teorema 1, si può comprendere tale secondo teorema.
Consideriamo due rette e consideriamo inizialmente due punti appartenenti ad una delle due rette, abbiamo detto che l’isometria mantiene inalterate le distanze perciò le due rette dopo la trasformazione saranno ancora rette.
L’isometria mantiene inalterate tutte le distanze quindi anche quelle tra le rette, se quindi prendiamo due punti, ognuno appartenente ad ognuna delle rette, la distanza tra tale coppia di punti viene mantenuta inalterata perciò le due rette incidenti dopo la trasformazione continueranno ad essere incidenti mentre se erano parallele continueranno ad essere parallele anche dopo la trasformazione.
Per ulteriori approfondimenti su rette incidente e parallele vedi anche qua
Isometria: il triangolo
Un triangolo è una figura geometrica costituita da tre segmenti disposti in modo da avere gli estremi in comune, tali segmenti prendono il nome di lati.
Teorema 3: Un'isometria trasforma un triangolo in un triangolo ad esso congruente.
Un triangolo è costituito da 3 segmenti, i segmenti a seguito della trasformazione rimangono a loro volta dei segmenti (se consideriamo due punti su tali segmenti la distanza tra ogni coppia di punti viene mantenuta); se consideriamo ora due punti, ognuno appartenente a un segmento diverso avremo che anche la distanza tra tali coppie di punti viene mantenuta costante perciò anche la disposizione dei lati del triangolo viene mantenuta.
Per ulteriori approfondimenti sulla descrizione e sui vari tipi di triangoli vedi anche qua
Isometria: l’angolo
Un angolo è la porzione di piano delimitata da due semirette aventi l’origine in comune; le due semirette prendono il nome di lati mentre il vertice in comune prende il nome di vertice.
Teorema 4: Ogni isometria trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente.
Anche in questo caso l’isometria mantiene inalterate le distanze tra le coppie di punti di tutti gli elementi del sistema; se prendiamo una coppia di punti all’interno di ognuna semiretta, tale coppia viene trasformata facendo rimanere inalterate le distanze perciò la semiretta di partenza viene trasformata a sua volta in un’altra semiretta.
Se consideriamo invece una coppia di punti su due semirette diverse, l’isometria mantiene inalterate le distanze perciò le distanze tra le due semirette rimane la stessa quindi si può dire che l’angolo ottenuto con la trasformazione è un angolo congruente a quello di partenza.
Isometria: le figure
Una figura è composta da un insieme di linee o segmenti aventi i vertici in comune, ogni figura è composta da lati e può essere composta da angoli.
Teorema 5: Due figure isometriche sono congruenti (e viceversa). Se due figure sono congruenti esiste un'isometria nella quale le due figure corrispondono.
Anche nel caso delle figure è possibile considerare coppie di punti appartenenti alla stessa linea o a linee diverse (allo stesso segmenti o a segmenti differenti) ed è possibile riprodurre tali coppie di punti mantenendo inalterata la loro distanza, eseguendo questo per ogni coppia di punti è possibile ricostruire la figura finale che sarà congruente a quella di partenza.
Il ragionamento può essere eseguito anche in un altro modo: una figura è composta da segmenti, linee ed angoli, abbiamo visto nei teoremi precedenti che tali elementi vengono trasformati in un elemento congruente perciò la figura finale che si ottiene con la trasformazione è congruente alla figura di partenza.
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