Cilindro: Proprietà ed intersezione con un piano

In questo appunto verranno elencate le principali caratteristiche del cilindro, con particolare riferimento a ciò che accade quando un piano interseca il cilindro in alcuni punti. Verificheremo se, a seconda di vari casi, l'intersezione tra il cilindro e il piano può dare origine a diverse figure piane.

Cilindro: proprietà e caratteristiche

ciò vuol dire che "ha due basi circolari".

Si differenzia dal cono perché a differenza di esso, il cilindro ha appunto due basi, mentre il cono ha una sola base circolare e un vertice.
Sono due i "parametri che determinano un cilindro", il raggio della base

e l'altezza

, corrispondente alla distanza tra le due basi. Il volume di un cilindro è dato dalla formula

dal momento che l'area di base del cilindro è l'area di un cerchio di raggio

ossia

. Visto che abbiamo considerato il cilindro come un prisma a base circolare di altezza

, il volume di un prisma è sempre dato dal prodotto tra l'altezza e l'area di base.
Se immaginiamo di "srotolare" il cilindro (un po' come un rotolo di carta igienica)) notiamo che l'area laterale è data da un rettangolo avente come altezza

e base la lunghezza della circonferenza, ossia

; per questa ragione l'area laterale

è data dalla formula

.
Sommando all'area laterale il doppio dell'area di base si ottiene l'area totale del cilindro, che è quindi data da

Intersezione tra un cilindro e un piano perpendicolare all'asse

Immaginiamo un piano che interseca un cilindro, e supponiamo che tale piano sia perpendicolare all'asse del cilindro. L'asse di un cilindro è quella retta che passa per i centri delle due facce circolari.
Allora la sezione che si viene a creare è circolare. Questo perché il piano è perpendicolare all'asse e quindi anche al piano su cui giace la base del cilindro, quindi si creano due cilindri.
Dal momento che il cilindro è un prisma, si ha che il "taglio" dovuto a questo piano, divide il cilindro di partenza in due cilindri più piccoli in altezza ma non in base. Essendo i due solidi due cilindri in precedenza attaccati per una base, la sezione è effettivamente un cerchio.
Se si volesse rappresentare tale intersezione su un piano verticale e su un piano laterale, si avrebbero due rettangoli, tagliati ad una certa altezza (identica sia in piano verticale che in piano laterale) da una retta parallela alla base.
Un fatto interessante è il seguente, dette

rispettivamente le distanze dal piano alla prima base e alla seconda base e detti

rispettivamente i volumi dei cilindretti che si formano in seguito al taglio, si ha che

, poiché, come abbiamo già detto prima, i cilindri hanno la stessa base del cilindro di partenza. Quindi il loro volume dipende unicamente dall'altezza.

Per approfondimenti sulla circonferenza, vedi anche qua.

In questo video si mostra come un cilindro interseca un piano perpendicolare all'asse

Intersezione tra un cilindro e un piano non perpendicolare all'asse

Il discorso fatto precedentemente non si può in realtà applicare se il piano non è perpendicolare all'asse. Infatti, se il piano non dovesse essere perpendicolare all'asse, la sezione è in realtà un'ellisse, che è il luogo geometrico dei punti aventi somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi costante.

L'equazione di un'ellisse è

.
Se si volesse rappresentare tale intersezione su un piano verticale e su un piano laterale, si avrebbero due rettangoli, tagliati ad una certa altezza da una retta parallela alla base in uno dei piani, da una retta obliqua nell'altro. Più tale retta è obliqua, più inclinato è il piano "responsabile del taglio".

Per ulteriori approfondimenti sull'ellisse vedi anche qua