Punti e rette nel piano cartesiano

Punti e rette nel piano cartesiano

1 Piano cartesiano e coordinate cartesiane _____________________________ 2

2 Distanza fra due punti _____________________________________________________ 4

3 Punto medio fra due punti dati ___________________________________________ 5

4 Retta per due punti ________________________________________________________ 5

5*Coefficiente angolare di una retta (significato goniometrico) ____ 9

6 Equazioni parametriche di una retta ____________________________________ 9

7 Rette per un punto ________________________________________________________ 11

8 Rette parallele ___________________________________________________________ 12

9* Angolo tra due rette ___________________________________________________ 13

10 Rette perpendicolari ____________________________________________________ 14

11 Posizioni relative di due rette e sistemi lineari ______________________ 15

12 Distanza di un punto da una retta ______________________________________ 17

13 Funzioni affini per intervalli __________________________________________ 18

14 Disequazioni lineari in 2 incognite _____________________________________ 20

15 Sistemi di disequazioni lineari in 2 incognite _________________________ 21

16 Esercizi ___________________________________________________________________ 23



R. SANTORO: Punti e rette nel piano cartesiano 03/11/2008 1/25

Piano cartesiano e coordinate cartesiane

Il piano geometrico è formato da infiniti punti e infinite rette. Su questo piano si scelgono due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O. Su ciascuna di queste rette si sceglie una unità di misura delle lunghezze dei segmenti (in genere la stessa unità) ed un verso positivo di percorrenza.

y

6

5

4

3

2

C 1 A x

O

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 B

-2

-3

-4

-5

-6

Allora ogni punto di queste rette viene messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali. La retta orizzontale si chiama asse delle ascisse (e viene, in genere, indicata con x), la retta verticale si chiama asse delle ordinate (e viene, in genere, indicata con y). Nella figura il punto A occupa, sull’asse delle ascisse, la posizione 1, perché OA misura 1 rispetto all’unità di misura scelta.

Sull’asse delle ordinate la posizione -2, perché OB misura 2 rispetto all’unità di misura scelto e B si trova dalla parte opposta rispetto ad O e al verso positivo assegnato, e così via.

In questo modo ognuno dei punti degli assi x e y è individuabile assegnando la retta ed un numero reale. Ma come è possibile fissare la posizione di un punto come il punto C?

y

6

5

4

3 P

2

1

Q x

O

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-2

-3

-4

-5

-6 

R. SANTORO: Punti e rette nel piano cartesiano 03/11/2008 2/25

Per rispondere alla domanda bisogna allargare il discorso e stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti del piano e le coppie (x,y) di numeri reali, dopo che nel piano si sono fissati due assi privilegiati x e y (detti assi cartesiani), con il loro verso positivo di percorrenza e la loro unità di misura, come fatto in precedenza. In questo modo il punto P del piano corrisponde alla coppia (2,3) di numeri reali, il punto Q alla coppia (-3,1), l’origine O alla coppia (0,0) e così via.

Essendo la corrispondenza biunivoca, vale anche il viceversa, nel senso che, ad esempio, fissata la coppia (2,3) di numeri reali, a questa corrisponde in modo inequivocabile il punto P. Il primo numero della coppia indica l’ascissa del punto considerato, il secondo numero l’ordinata.

y considerato, il secondo numero l’ordinata.

P(x,y) Dunque quando si scrive P(x,y) si intende dire che il punto P ha ascissa x e ordinata y. Le proiezioni di P sugli assi cartesiani sono date dai punti P (x,0) e P (0,y).

P (0,y)

2

x

O P (x,0)

1 1 2

Quando il piano viene riferito ad un sistema di assi cartesiani, viene da questi diviso in quattro regioni (dette anche quadranti) numerate come nella figura sottostante. Un punto che si trova nel primo quadrante ha ascissa positiva e ordinata positiva.

• Un punto che si trova nel secondo quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva.
• Un punto che si trova nel terzo quadrante ha ascissa negativa e ordinata negativa.
• Un punto che si trova nel quarto quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa.

I

II

(+ , +)

(- , +)

III IV

(- , -) (+ , -)

Punti particolari:

• L’origine O degli assi cartesiani ha coordinate (0,0).
• I punti dell’asse delle ascisse hanno tutti ordinata nulla e, quindi hanno coordinate del tipo (x,0).
• I punti dell’asse delle ordinate hanno tutti ascissa nulla e, quindi, hanno coordinate del tipo (0,y).

Nella figura a lato sono rappresentati alcuni punti in un piano cartesiano in cui è stata predisposta una ‘rete’ di punti per agevolare la lettura delle coordinate. Ecco i punti:

y A(-3,0),

B 3 B(-2,3),

C(-2,-1),

2 D(0,-3)

F E(2,1),

E

1 F(4,3/2)

A x

O

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

C -2 D

-3 

R. SANTORO: Punti e rette nel piano cartesiano 03/11/2008 3/25

Distanza fra due punti

La distanza fra due punti del piano è, per definizione non negativa, nel senso che risulta positiva se i due punti sono distinti e risulta nulla se i due punti sono coincidenti.

Prima di vedere come si calcola la distanza fra due punti qualunque del piano, è utile considerare due casi particolari:

• I due punti sono entrambi sull’asse delle x o su una retta parallela all’asse delle y.

M N In questo caso, siano A(x₁,0) e B(x₂,0) oppure M(x₁,h) e N(x₂,h) i due punti. Si ha subito:

AB = MN = OB - OA = x₂ - x₁.

O A B x

• I due punti sono entrambi sull’asse delle y o su una retta parallela all’asse delle y.

y

M

B In questo caso, siano A(0,y₁) e B(0,y₂) oppure M(k,x₁) e N(k,y₂) i due punti. Si ha subito:

A N = AB = MN = OB - OA = y₂ - y₁.

O x

x A

( x₀, y₀ ) B ( x₁, y₁ )

In generale, se A e B sono due punti qualunque, come si vede dalla figura a lato, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, risulta:

AB² = AH² + BH².

y 0 0 1 1

B

y 2 triangolo rettangolo AHB, risulta:

y H

1 A

x x

x 2

1

O x

o anche (tenendo presente i due casi particolari precedenti):

AB = √[(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²].

Esempio 1 Se A(1,1) e B(3,1), risulta: AB = 3 - 1 = 2.

Esempio 2 Se A(1,2) e B(1,-3), risulta: AB = 3 - 2 = 5.

Esempio 3 Se A(0,5) e B(0,2), risulta: AB = 5 - 2 = 3.

Esempio 4 Se A(1,-2) e B(-3,1), risulta:

AB = √[(-3 - 1)² + (1 + 2)²] = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = 5.

Esempio 5 Se A(-2,2) e B(1,-1), risulta:

AB = √[(1 + 2)² + (-1 - 2)²] = √(3² + 3²) = √18 = 3√2.

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R. SANTORO: Punti e rette nel piano cartesiano 03/11/2008 4/25

Punto medio fra due punti dati

A

( x₀, y₀ ) B ( x₁, y₁ )

Siano A e B i due punti. Deve essere:

AM = MB

y

B

y 2 il che implica anche che AK = KH; dunque (se x₂ > x₁):

M

y − y

M x₂ − x₁ = x₁ − xM

y H

1 da cui si ha:

A K xM = (x₀ + x₁) / 2

x x

x M 0 1

2 x

1

O M

x 2

E, analogamente: risulta che il punto medio M ha coordinata:

yM = (y₀ + y₁) / 2.

risulta che il punto medio M ha coordinate:

M = ((x₀ + x₁) / 2, (y₀ + y₁) / 2).

Esempio Se A(1,-2) e B(-3,1), risulta:

M = ((1 - 3) / 2, (-2 + 1) / 2), cioè M(-1,-1/2).

Retta per due punti

Geometricamente, per due punti del piano passa una ed una sola retta. Un terzo punto del piano può o non può passare per la retta dei primi due: se passa è allineato con i primi due, altrimenti no.

Questa condizione di allineamento si traduce in una condizione che consente di trovare l’equazione della retta che passa per due punti dati.

y

Per cominciare i due punti siano l’origine O(0,0) degli assi cartesiani ed il punto A(x₀,y₀). Un punto qualunque P(x,y) appartiene alla retta (OA) se i triangoli rettangoli OAH e OPK sono simili, se si verifica per esempio che:

P A

( x₀, y₀ )

H K x

O y y

PK / OK = AH / OH ⇒ y / x = y₀ / x₀.

oppure, ponendo m detto coefficiente angolare della retta:

y₀ / x₀ = m

y = mx (2)

La (2), che si chiama anche funzione lineare, rappresenta dunque l’equazione di una generica retta che passa per l’origine degli assi cartesiani.

La relazione (1) può anche essere scritta sotto la forma:

ax + by = 0 (3)

dove si è posto y₀ = a e -x₀ = b.

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R. SANTORO: Punti e rette nel piano cartesiano 03/11/2008 5/25

È possibile generalizzare considerando la retta che passa per due punti A(x₀,y₀) e B(x₁,y₁). In tal caso un punto qualunque P(x,y) è allineato con i primi due (e quindi appartiene alla retta dei primi due) se i triangoli rettangoli ABH e APK risultano simili, quindi se si verifica per esempio che:

y

A

( x₀, y₀ ) B ( x₁, y₁ )

y₁ - y₀ / x₁ - x₀ = y - y₀ / x - x₀.

B

A

K

H

O 0 1

o anche:

(y₁ - y₀)(x - x₀) = (y - y₀)(x₁ - x₀) (4)

Sviluppando l’ultima relazione, si ha:

(y₁ - y₀)(x - x₀) = (y - y₀)(x₁ - x₀) ⇒

y₁x - y₁x₀ - y₀x + y₀x₀ - x₁y + x₁y₀ + x₀y - x₀y₀ = 0 ⇒

ax + by + c = 0 (5)

dove si è posto:

a = y₁ - y₀,

b = x₀ - x₁,

c = (x₁ - x₀)y₀ - (y₁ - y₀)x₀.

L’espressione m = (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀) esprime il coefficiente angolare della retta, che è definito come il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta.

Allora, a parità di denominatore, più grande è il numeratore, più grande è m. Quindi rette che hanno un valore di m più grande hanno una pendenza maggiore rispetto all’asse delle x.

Così, per le rette r₁, r₂ e r₃ della figura a lato, risulta, per i rispettivi coefficienti angolari m₁, m₂ e m₃, che:

y

r₃

3

r₂

r₁

P₃

P₂

P₁

x

A H P₁H P₂H P₃H

m₁ < m₂ < m₃

in quanto:

m₁ = P₁H / AH, m₂ = P₂H / AH, m₃ = P₃H / AH

P₁H < P₂H < P₃H.

La relazione (5), che esprime la forma implicita dell’equazione di una retta, si può risolvere rispetto a y e scrivere (ponendo m = -a/b e n = -c/b, sempre che sia b ≠ 0):

y = mx + n (6)

La (6) esprime la forma esplicita dell’equazione di una generica retta del piano e viene anche chiamata funzione affine.

La (2) e la (6) esprimono le equazioni di due rette parallele, in quanto se r è la rappresentazione geometrica della (2), il punto B’(1,m) ∈ r; se s è la rappresentazione geometrica della (6), il punto B(1,m + n) ∈ s, e il punto A(0,n) ∈ s.

s

y

r

B

A

B’

α x

1

O

Inoltre risulta:

OA = n

BB’ = (m + n) - m = n,

dunque i lati opposti [OA] e [BB’] del quadrilatero OABB’ risultano paralleli ed aventi la stessa lunghezza. Allora il quadrilatero risulta un parallelogramma ed anche i lati opposti [AB] e [OB] risultano paralleli.

Per un parallelogramma:

• I lati opposti sono paralleli ed hanno la stessa lunghezza.
• Il punto medio di una diagonale è anche punto medio dell’altra diagonale.

Quanto sopra giustifica il nome di coefficiente angolare dato al coefficiente m che compare nella (2) e nella (6): due rette che hanno lo stesso valore di m sono parallele e dunque formano lo stesso angolo α con la direzione positiva dell’asse delle x.

Riassumendo: l’equazione di una generica retta del piano si scrive:

ax + by + c = 0 (forma implicita)

oppure:

y = mx + n (forma esplicita, funzione affine).