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Area del trapezio


Ci proponiamo in questa trattazione di pervenire alla formula che ci consentirà di calcolare l'area del trapezio, di qualunque tipo esso sia: scaleno (o qualsiasi), isoscele o rettangolo.

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.
Questi due lati paralleli si dicono Basi del trapezio (il più lungo si chiama Base maggiore e il più corto si chiama Base minore). Gli altri due lati si dicono invece Lati obliqui. La distanza tra le due basi (ovvero il segmento perpendicolare ad entrambe le basi) si chiama Altezza del trapezio.

regole area del trapezio

Disegniamo il trapezio ABCD, e siano AB e CD rispettivamente la sua base maggiore e la sua base minore. Prolunghiamo la base AB di un segmento BE lungo quanto la base minore CD. Congiungiamo il punto E con il punto D, ed indichiamo con F il punto in cui il segmento ED taglia il lato obliquo CB.
Consideriamo il triangolo AED così ottenuto.

formule del trapezio

Questo triangolo ha dunque la base AE pari alla somma della base maggiore e della base minore del trapezio, e l'altezza DH coincidente con l'altezza del trapezio. Poichè l'area di un triangolo è data dal prodotto della sua base per la sua altezza diviso due, possiamo scrivere che:

[math] BASE = AB + CD[/math]

[math] ALTEZZA = DH [/math]

[math] Area (AED) = \frac{(AB+CD) \cdot DH}{2}[/math]

Se osserviamo con attenzione la FIGURA 2, ci accorgiamo che:
[math]Area (AED) = ABFD + BFE[/math]

[math]Area (ABCD) = ABFD + CDF[/math]

Riuscendo a dimostrare che i due triangoli BFE e CDF sono congruenti, possiamo giungere alla conclusione che il triangolo AED e il trapezio ABCD sono equivalenti, cioè hanno la medesima area. Vediamo come questo sia possibile.

Possiamo constatare che:

[math]BE = DC[/math]
per costruzione;
[math]F\widehat{B}E= F\widehat{C}D[/math]
, poichè angoli alterni interni formati dalle parallele AE e CD tagliate dal lato obliquo BC;
[math]B\widehat{E}F= F\widehat{D}C[/math]
, poichè angoli alterni interni formati dalle parallele AE e CD tagliate dalla trasversale DE.

I due triangoli BFE e CDF sono pertanto congruenti, per il secondo criterio di congruenza, secondo il quale due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti.

Questo ci porta alla conclusione che l'area del trapezio è equivalente a quella di un triangolo che ha la base uguale alla somma delle base del trapezio ed uguale altezza.

Detto più semplicemente: "l'area del trapezio si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle base per la misura dell'altezza e dividendo il prodotto per due".

[math] Area = \frac{(B1 + B2) \cdot H}{2}[/math]

Da questa formula derivano poi due formule inverse, utili per calcolare:
1) La somma delle due basi (minore e maggiore) qualora siano note l'area del trapezio e la sua altezza.
2) L'altezza qualora siano note l'area del trapezio e la somma delle due basi.
[math] (B1 + B2) = \frac{2Area}{H}[/math]

[math] H = \frac{2Area}{(B1 + B2)}[/math]

Vediamo insieme un esempio pratico: si tratta di un tipo di esercizio frequentemente richiesto.
"Calcolare l'area di un trapezio sapendo che le sue basi misurano rispettivamente 24 cm e 14 cm e l'altezza è i 3/5 della differenza delle due basi".

Come il problema ci fa sapere:

[math] H = \frac{3}{5}\cdot (B2 - B1)[/math]

[math] H = \frac{3}{5}\cdot (24 - 14)[/math]

[math] H = \frac{3}{5}\cdot 10[/math]

[math] H= 6 cm[/math]

Ricordando quanto abbiamo appreso riguardo al calcolo dell'area di un trapezio, possiamo eseguire il calcolo finale:
[math] Area = \frac{(B1 + B2) \cdot H}{2} = \frac{(24 + 14) \cdot 6}{2}= 114 cm^2[/math]

Annotazione finale


Tra tutti i possibili tipi di trapezio esistenti, ce ne sono due che godono di proprietà e caratteristiche particolari: il trapezio isoscele e il trapezio rettangolo. Il primo è un trapezio che ha i due lati obliqui uguali, mentre il secondo è un trapezio che ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle due basi.

In questi due trapezi la determinazione delle misure dei quattro lati (le due basi e i due lati obliqui) è molto più semplice che in un trapezio generico (e di conseguenza lo è anche il calcolo di area e perimetro), in quanto è possibile utilizzare con essi il Teorema di Pitagora.

Si rimandano tuttavia queste questioni agli appunti esplicitamente dedicati all'argomento Trapezio isoscele e Trapezio rettangolo.

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