Area superficiale del cilindro - Spiegazione e formula

In questo appunto viene spiegata e descritta la formula che permette di ottenere l’area superficiale del cilindro.
Per comprendere la formula dell’area superficiale del cilindro e la spiegazione del procedimento da seguire per calcolarla è prima necessario richiamare alcuni concetti base come la definizione di cilindro e la descrizione della forma passando poi a richiamare il cerchio e il calcolo del perimetro della sua area.

Il cilindro: definizione e caratteristiche

Il cilindro è una figura tridimensionale che può essere costruita facendo ruotare un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati, essendo generato da una figura in rotazione il cilindro è un solido di rotazione.
Il cilindro ha quindi come base un cerchio, il quale si sviluppa per una certa altezza; gli elementi fondamentali sono quindi l’elemento che caratterizza la base (ovvero il raggio) e l’altezza (ovvero la distanza tra le basi, cioè il segmento che collega le due basi ed è perpendicolare al piano su cui giace la base).
La superficie del cilindro è quindi costituita dall’area dei cerchi che costituiscono l’area delle basi e dalla superficie laterale che viene generata dal lato del rettangolo opposto a quello utilizzato come asse di rotazione.
Generalmente il cilindro è costruito in modo che la base sia perpendicolare alla superficie laterale, nel caso in cui tale caratteristica non viene rispettata il cilindro assume una forma inclinata ed è necessario utilizzare formule molto più complesse rispetto a quelle riportate in seguito.

Per ulteriori approfondimenti sul cilindro e sulle sue caratteristiche vedi anche qua

Il cerchio: richiamo al calcolo della circonferenza e dell’area

Abbiamo visto che il cilindro ha come base un cerchio, prima di procedere al calcolo dell’area superficiale è quindi utile richiamare alcuni concetti base sul cerchio e sul calcolo di area e di perimetro.
Il cerchio è una figura chiusa composta da punti che hanno la caratteristica di avere la stessa distanza da un punto particolare chiamato centro.
Un altro elemento fondamentale del cerchio è il raggio ovvero la distanza di ogni punto dal centro.
Noto il valore del raggio è possibile calcolare la circonferenza del cerchio (ovvero la lunghezza della linea che definisce il cerchio), la formula che esprime la circonferenza è la seguente:

Dove r è il raggio e π (pi greco, è una lettera che corrisponde a un numero irrazionale costante: π=3,14…).
Per trovare quindi la circonferenza del cerchio è necessario conoscere il valore del raggio e moltiplicarlo per 2 e per π.
Ricordiamo che 2r corrisponde al diametro (altro elemento caratteristico del cerchio che corrisponde alla distanza tra due punti opposti sulla circonferenza, è anche la distanza massima che due punti sulla circonferenza possono avere).
L’area del cerchio (ovvero la parte di piano interna e delimitata dalla circonferenza) è sempre relazionata al raggio secondo la formula seguente:

Dove r è il raggio e π=3,14…
Per trovare quindi la circonferenza del cerchio è necessario conoscere il valore del raggio elevarlo al quadrato e moltiplicare per π.
Per ulteriori approfondimenti sul cerchio e sul calcolo di perimetro e area vedi anche qua

Area superficiale del cilindro: spiegazione e formula

Come detto nei paragrafi precedenti la superficie del cilindro è data dalla somma di:

• Area dei cerchi che costituiscono le basi
• Superficie laterale generata dalla rotazione

Le due basi hanno la forma di un cerchio e sono equivalenti quindi per calcolare la superficie delle basi è sufficiente calcolare l’area di un cerchio e moltiplicarla per due:

Passiamo ora al calcolo della superficie laterale del cilindro:
Abbiamo visto che la superficie laterale del cilindro è generata dalla circonferenza del cilindro elevata in altezza.
Se quindi consideriamo la lunghezza della circonferenza e la moltiplichiamo per l’altezza del cilindro otteniamo proprio l’area della superficie laterale.
Perciò:

Trovata l’espressione per il calcolo della superficie laterale possiamo ora calcolare l’area superficiale totale del cilindro sommando le tre superfici (le due basi e l’area laterale)

Per calcolare quindi l’area superficiale totale del cilindro è necessario conoscere i valori del raggio del cerchio di base e il valore dell’altezza (π è un numero costante noto), sostituendo i valori nella formula riportata è possibile eseguire le operazioni e trovare il valore dell’area superficiale del cilindro.
La superficie laterale è un’area (è bidimensionale) perciò avrà come unità di misura una dimensione elevata al quadrato, in genere

o suoi multipli o sottomultipli.

Un esercizio

Un cilindro ha il diametro del cerchio di base d=5cm e l’altezza h=12cm. Calcola l’area superficiale di tale cilindro.

Svolgimento:
Il problema fornisce i seguenti dati:
d=5cm
h=12cm
L’incognita è l’area superficiale del cilindro.
La formula che esprime la superficie del cilindro è quella riportata in precedenza cioè:

Possiamo notare che nella formula è necessario inserire i valori del raggio (valore che non ci viene fornito dal problema) e dell’altezza (valore che ci viene fornito).
Procediamo quindi al calcolo del raggio:
Il diametro è legato al raggio tramite la formula:

Perciò esplicitiamo il raggio e sostituiamo il valore del raggio ottenendo:

Una volta trovato il raggio è possibile calcolare l’area superficiale del cilindro andando a sostituire i valori di raggio e di altezza e svolgendo le operazioni:

.