In questo appunto di geometria solida, rivediamo una classe di poliedri regolari, i prismi. Iniziamo sempre con un po’ di richiami teorici sulle definizioni di base degli elementi fondamentali dello spazio: rette, piani e loro posizione reciproca. In particolare la definizione di diedro ed angoloide, concetti molto importanti alla base della costruzione di un poliedro regolare oppure semplicemente retto.
Indice
Enti fondamentali della geometria solida
Le figure geometriche si possono classificare in figure piane e figure solide.
Se i punti di una figura si trovano tutti su uno stesso piano allora si parla di figura piana. Queste figure hanno solo due dimensioni: lunghezza e larghezza come quelle di un foglio di carta.
Le figure geometriche formate da punti che non appartengono tutti allo stesso piano, sono le figure solide dette semplicemente solidi. Queste figure si sviluppano nello spazio e hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza (o spessore).
Anche la geometria solida ha i suoi enti fondamentali che sono gli stessi della geometria piana: il punto, la retta e il piano. Questi tre elementi possono collocarsi in vario modo l'uno rispetto all'altro, esaminiamo quindi le posizioni reciproche tra essi.
Punti rette e piani nello spazio
Per quanto riguarda il punto possiamo semplicemente dire che esso può appartenere oppure no ad un piano.
Due rette nello spazio possono assumere diverse posizioni, se giacciono nello stesso piano si dicono complanari e in questo caso possono essere parallele, incidenti, coincidenti.
Due rette nello spazio che non appartengono allo stesso piano, non hanno punti in comune e si dicono sghembe, le rette si trovano su due piani diversi.
Una retta rispetto ad un piano può essere: parallela ad esso, incidente con esso, in questo caso lo attraversa in un punto ben preciso, oppure può appartenervi completamente, in tal caso è contenuta interamente nel piano.
Quando una retta incontra un piano formando un angolo retto allora la retta è perpendicolare al piano.
Per approfondimenti sulla posizione reciproca tra rette vedi qua
Angolo diedro e angoloide
I concetti di diedro e di angoloide servono a capire che cos’è un poliedro. Se per i poligoni rimanevamo sul piano, nei poliedri andiamo nello spazio quindi il poliedro nello spazio è l’analogo di ciò che è un poligono nel piano.
Un poligono è una parte di piano formata dall’intersezione di due o più angoli, con due o più angoloidi noi possiamo racchiudere una porzione di spazio, e quindi costruire una figura solida. In rosso sono evidenziati gli angoloidi.
Esaminiamo ora le posizioni relative tra due piani nello spazio, e poi daremo le definizioni
Due piani si dicono incidenti o secanti se si incontrano e la loro intersezione è una retta r. La retta divide a sua volta i due piani in due parti ciascuna delle quali è detta semipiano.
Due piani si dicono paralleli quando non hanno punti in comune. La distanza tra questi due piani è sempre la stessa e tutti i piani fra loro paralleli nello spazio formano un fascio di piani paralleli, analogamente a quanto accade per un fascio di rette improprio nel piano.
Quando due semirette hanno l'origine in comune dividono il piano in due parti detti angoli. Nello spazio accade la stessa cosa tra due semipiani che hanno la retta di origine in comune, essi dividono lo spazio in due parti che vengono detti diedri. Nella figura seguente è rappresentato un diedro:
I due semipiani vengono chiamate facce del diedro, mentre la retta di origine dei due semipiani è lo spigolo. Se il diedro contiene i prolungamenti dei piani cui appartengono le sue facce si definisce concavo mentre è convesso se non li contiene.
Osserviamo il disegno di un’arnia.
Riconosciamo gli stessi elementi di un diedro:
- le due falde sono i due semipiani;
- la linea centrale dove si congiungono le due falde è lo spigolo;
- la casetta è il diedro convesso, lo spazio esterno è il diedro concavo.
In maniera del tutto analoga a quanto accade nella geometria piana anche l'angolo diedro si classifica in base alla sua ampiezza, che dipende dal modo in cui sono posti i due semipiani.
Per stabilire l’ampiezza di un dietro bisogna intersecarlo con un piano, che forma un angolo detto sezione normale.
Un angolo diedro può essere dunque: acuto, retto, ottuso, piatto o giro. Riportiamo in figura tutti i tipi.
La sezione normale è rappresentata dal piano rosa. L’ampiezza della sezione normale, l’angolo
Due angoli diedri sono consecutivi quando hanno uno spigolo e una faccia in comune.
Due angoli diedri si dicono adiacenti quando sono consecutivi e le due facce non comuni si trovano sullo stesso piano.
Diamo infine la definizione di angoloide
L’angoloide è detto anche angolo solido, questo tipo di angolo è il corrispondente nelle tre dimensioni dell'angolo piano. Se da un punto si tracciano più semirette che hanno questa origine in comune e che non appartengano allo stesso piano otteniamo un angolo solido. L’angoloide è una regione di spazio delimitata da tre o più angoli a due a due consecutivi e non complanari (vedi la figura seguente). Servono perciò almeno tre angoli per formarne uno.
Riconosciamo gli elementi di un angoloide: il vertice, gli spigoli, i lati, le facce.
Poliedri, definizioni e tipologie
Dopo aver introdotto i vari elementi della geometria solida possiamo dare la definizione di poliedro.
I poliedri sono delle figure solide che hanno la superficie formata da poligoni. Questi poligoni si trovano su piani diversi e sono disposti in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi.
Tutti i poligoni che formano la superficie del poliedro sono le facce del poliedro. I lati di questi poligoni costituiscono gli spigoli e i vertici dei poligoni corrispondono ai vertici del solido. Le diagonali dei poliedri sono segmenti che uniscono due vertici non appartenenti alla stessa faccia. Due facce del poliedro si dicono adiacenti quando hanno uno spigolo in comune.
Per formare un poliedro ci vogliono almeno quattro facce e il solido che si forma prende il nome di tetraedro. In modo analogo ai poligoni, all'aumentare delle facce si hanno i seguenti solidi: pentaedro, esaedro, oppure ottaedro. Quando le facce del poliedro sono tutte congruenti e sono poligoni regolari anche i poliedri sono detti regolari. Si tratta di 5 solidi noti col nome di solidi Platonici: cubo, tetraedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro che ha 20 facce. Il filosofo Platone li usò nel suo libro intitolato Timeo, per spiegare il mondo naturale, associandovi gli elementi: acqua, aria terra, fuoco.
Prismi, caratteristiche generali
Uln prisma è un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, le sue basi, che si trovano su due piani paralleli E da tanti parallelogrammi, le sue facce laterali, quanti sono i lati del poligono di base. Se il poligono di base è un triangolo il prisma avrà tre facce laterali, se il poligono di base è un pentagono il prisma ha 5 facce laterali.
Gli spigoli laterali del prisma sono i lati paralleli che congiungono le due basi, gli spigoli di base sono i lati dei due poligoni di base.
Nel prisma retto gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi, se non c'è questa perpendicolarità il prisma è detto obliquo.
Un prisma retto è detto regolare se ha per base un poligono regolare e il nome del prisma deriva proprio dal poligono di base.
Il parallelepipedo e il cubo sono due particolari tipi di prisma.
Il parallelepipedo ha come basi due parallelogrammi congruenti.
Il cubo, detto anche esaedro regolare perché ha sei facce tutte congruenti, è sempre un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni congruenti.
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