Piani e rette

Piani e rette

Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:

• Un punto P₀ di e un vettore v ortogonale ad ;
• Un punto P₀ di e due vettori u e w paralleli ad ;
• Tre punti P₀, P₁, P₂ di non allineati.

Nel caso a), sia P₀ = (x₀, y₀, z₀) e v = (a, b, c), se P = (x, y, z) è il generico punto di, il vettore (OP - OP₀) è parallelo ad e quindi è ortogonale a v. Si ha perciò l'equazione vettoriale:

v . (OP - OP₀) = 0

che, passando dai vettori alle componenti, diventa:

a(x - x₀) - b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

da cui l'equazione cartesiana:

(1) : ax + by + cz + d = 0 dove d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)

Un piano si rappresenta quindi con un'equazione lineare in x, y, z e i coefficienti delle incognite sono le componenti di un vettore ortogonale ad . Se si moltiplica la (1) per un fattore non nullo, si ottiene un'equazione che rappresenta lo stesso piano, perciò l'equazione cartesiana di è determinata a meno di un fattore di proporzionalità.

Nel caso b) è facile ricondursi al caso a), basta osservare che il piano passante per un punto P₀ e parallelo ai due vettori u e w è il piano per P₀ ortogonale al vettore v = u w.

Nel caso c) si cerca il piano passante per i punti P₀, P₁, P₂; basta osservare che è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P₀ ed è parallelo ai vettori (OP₁ - OP₀) e (OP₂ - OP₀); perciò applicando il caso b), basta determinare il piano per P₀ ortogonale al vettore v = (OP₁ - OP₀) (OP₂ - OP₀).

Parallelismo tra piani

I piani : ax + by + cz + d = 0 e ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 sono paralleli se e solo se i vettori v = (a,b,c) e v' = (a',b',c') sono paralleli; i quali sono paralleli se e solo se esiste un coefficiente reale non nullo K tale che (a,b,c) = K(a',b',c'). Se invece (a,b,c,d) = K(a',b',c',d'), i due piani coincidono.

Rette

Per individuare una retta nello spazio e nello spazio possiamo assegnare:

• Un punto P₀ della retta e un vettore v parallelo alla retta;
• Due piani non paralleli di cui la retta è intersezione;
• Due punti distinti della retta.

Nel caso a) siano P₀ = (x₀, y₀, z₀) e v = (l, m, n); un punto P(x,y,z) appartiene ad r se e solo se esiste t in R tale che

(1)   (OP - OP₀) = t v

(1) si dice equazione vettoriale della retta r, e v si dice vettore direttore di r e le componenti l, m, n di v si dicono parametri direttori di r. Da (1), passando alle componenti, si deducono le equazioni parametriche di r:

(2)   x = x₀ + lty = y₀ + mtz = z₀ + nt

da cui segue l'uguaglianza dei rapporti:

(x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n

che, a rigore, avrebbero senso solo se l != 0, m != 0, n != 0. Eguagliando ora due coppie di tali rapporti, si trovano le equazioni dei due piani, di cui r è intersezione; il sistema lineare:

(x - x₀)/l = (y - y₀)/m(x - x₀)/l = (z - z₀)/n

e la rappresentazione cartesiana di r.

Nel caso b), sono dati due piani non paralleli: ax + by + cz + d = 0 e a'x + b'y + c'z + d' = 0, che hanno come intersezione la retta r.

Le coordinate dei punti di r sono le soluzioni del sistema s:

ax + by + ez + d = 0
a'x + b'y + e'z + d' = 0   (3)

Per ottenere una rappresentazione parametrica di r, dobbiamo trovare una soluzione particolare (x₀, y₀, z₀) del sistema (3) e un vettore v parallelo ad r; per fare cio' basta osservare che v = (l, m, n) deve essere ortogonale a entrambi i vettori n = (a, b, e) e n' = (a', b', e'), quindi si puo' scegliere v = n ∧ n' = (be' - b'e, a'e - ae', ab' - a'b).

Nel caso c) se vogliamo determinare la retta che passa per P₀ (x₀, y₀, z₀) e P₁ (x₁, y₁, z₁), possiamo ricorrere al caso a) tracciando la retta che passa per uno dei due punti, per esempio P₀, parallela al vettore v = (OP₁ - OP₀). Si ottengono le equazioni parametriche:

x = x₀ + t(x₁ - x₀)
y = y₀ + t(y₁ - y₀)
z = z₀ + t(z₁ - z₀)   (4)

Quanto visto finora per le rette nello spazio puo' ripetersi per una retta nel piano; per ottenere una rappresentazione parametrica della retta r passante per il punto P₀ e parallela al vettore v = (l, m) basta sopprimere la coordinata z della (2).

x = x₀ + lt
y = y₀ + mt

da cui, eliminando il parametro t, si ottiene una rappresentazione cartesiana della retta r data da un'unica equazione del tipo:

ax + by + e = 0

dove il vettore u = (a, b) e' perpendicolare al vettore v = (l, m).

Fasci di piani

Date le equazioni di due piani distinti : ax + by + ez + d = 0, ' : a'x + b'y + e'z + d' = 0, diciamo fascio di piani individuato da e' l'insieme di tutti i piani individuati da un'equazione del tipo:

(5) (ax + by + cz + d) + (a'x + b'y + c'z + d') = 0

al variare di , R.

Osserviamo che la (5) per ogni coppia di valori (, ) (0, 0) è un'equazione lineare in x, y, z, perciò rappresenta un piano proprio. Distinguiamo due casi:

• Se i piani e ' si intersecano secondo una retta r, ogni piano del fascio passa per la retta r, viceversa ogni piano passante per r si può individuare con un'equazione di tipo (5), in questo caso si parla di fascio proprio di piani con asse la retta r.
• Se i piani e ' sono paralleli, ogni piano del fascio è parallelo ad e ' e, viceversa, ogni piano parallelo ad e ' appartiene al fascio r, in questo caso si parla di fascio improprio di piani rappresentati da un'equazione del tipo: ax + by + cz + k = 0.

Distanza tra due punti

Dati due punti P(x, y, z) e P'(x', y', z'), la distanza di P da P' è il modulo del vettore (OP - OP') ossia:

d(P, P') = √((x - x')² + (y - y')² + (z - z')²)

Distanza di un punto da un piano

Dato un piano : ax + by + cz + d = 0 e un punto P₀(x₀, y₀, z₀), la loro distanza è la distanza di P₀ dal punto H (proiezione ortogonale di P₀ su :

d(P₀, ) = d(P₀, H) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Distanza di un punto da una retta nel piano

Data l'analogia tra l'equazione di una retta nel piano e quella di un piano nello spazio, con procedimento simile a al precedente si ottiene che la distanza di P₀(x₀, y₀) da r: ax + by + c = 0 è:

d(P₀, r) = d(P₀, H) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Distanza di un punto da una retta nello spazio

Dati la retta r e il punto P₀, la distanza può essere determinata con un procedimento geometrico: basta determinare il piano passante per il punto P₀ e ortogonale alla retta r e considerare il loro punto di intersezione H = r, si ha infatti d(P₀, r) = d(P₀, H).

Distanza tra piani paralleli

Per calcolare tale distanza, ci si può ricondurre al calcolo della distanza tra un punto e un piano: dati i piani paralleli:

: ax + by + cz + d = 0 e : a'x + b'y + c'z + d' = 0 si ha:

d(, ') = d(Q, )

dove Q è un punto qualsiasi del piano '. Ne segue:

d(, ') = |d - d'| / a² + b² + c²

Distanza tra rette sghembe

Date due rette sghembe r ed s esistono due punti (P₁ su r e P₂ su s) tali che la retta passante per P₁ e P₂ è ortogonale e incidente sia con r che con s; si definisce distanza tra rette sghembe la distanza tra P₁ e P₂. Per calcolare tale distanza ci si può ricondurre al calcolo della distanza tra un punto e un piano: sia il piano che contiene una delle due rette, per esempio s, ed è parallelo all'altra, quindi a r, allora:

d(r, s) = d(r, ) = d(R, )

dove R è un punto qualsiasi della retta r.