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Piani e rette


Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:
(a) un punto P0 del piano e un vettore v ortogonale al piano;
(b)un punto P0 del piano e due vettori u e w paralleli al piano;
(c) tre punti P0, P1, P2 del piano non allineati.
Nel caso(a), sia P0 =(x0,y0,z0) e il vettore v=(a,b,c); se P=(x,y,z) è il generico punto del piano, il vettore (OP-OP0) è parallelo al piano e quindi è ortogonale al vettore v. Si ha percio` l’equazione vettoriale:
v(vettore)*(OP-OP0) = 0
che, passando passando dai vettori alle componenti, diventa:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
da cui l'equazione cartesiana:
(1) piano:ax+by+cz+d=0 dove d= -(ax0 +by0 +cz0).
Un piano si rappresenta quindi con un’equazione lineare in x, y, z e i coefficienti delle incognite sono le componenti di un vettore ortogonale al piano. Se si moltiplica la (1) per un fattore non nullo, si ottiene un’equazione che rappresenta lo stesso piano, perciò l’equazione cartesiana del piano è determinata a meno di un fattore di proporzionalità.
Nel caso (b) è facile ricondursi al caso (a); basta osservare che il piano passante per un punto P0 e parallelo a due vettori u e w è il piano per P0 ortogonale al vettore v = u x w.
Nel caso (c) si cerca il piano passante per i punti P0, P1, P2; basta osservare che il piano preso in esame è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P0 ed è parallelo ai vettori (OP1 - OP0) e (OP2 - OP0); perciò applicando
il caso (b), basta determinare il piano per P0 ortogonale al vettore v = (OP1 - OP0) x (OP2 - OP0).
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