Piani e rette

Geometria

Scarica

Appunto di geometria che è relativo ai calcoli di piani e rette con equazioni cartesiane, con esempi.

…continua

Anteprima

Vedrai una selezione di 1 pagina su 5

Disdici quando
vuoi

Acquista con carta
o PayPal

Scarica i documenti
tutte le volte che vuoi

Sintesi

Piani e rette

Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:
(a) un punto P0 del piano e un vettore v ortogonale al piano;
(b)un punto P0 del piano e due vettori u e w paralleli al piano;
(c) tre punti P0, P1, P2 del piano non allineati.
Nel caso(a), sia P0 =(x0,y0,z0) e il vettore v=(a,b,c); se P=(x,y,z) è il generico punto del piano, il vettore (OP-OP0) è parallelo al piano e quindi è ortogonale al vettore v. Si ha percio` l’equazione vettoriale:
v(vettore)*(OP-OP0) = 0
che, passando passando dai vettori alle componenti, diventa:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
da cui l'equazione cartesiana:
(1) piano:ax+by+cz+d=0 dove d= -(ax0 +by0 +cz0).
Un piano si rappresenta quindi con un’equazione lineare in x, y, z e i coefficienti delle incognite sono le componenti di un vettore ortogonale al piano. Se si moltiplica la (1) per un fattore non nullo, si ottiene un’equazione che rappresenta lo stesso piano, perciò l’equazione cartesiana del piano è determinata a meno di un fattore di proporzionalità.
Nel caso (b) è facile ricondursi al caso (a); basta osservare che il piano passante per un punto P0 e parallelo a due vettori u e w è il piano per P0 ortogonale al vettore v = u x w.
Nel caso (c) si cerca il piano passante per i punti P0, P1, P2; basta osservare che il piano preso in esame è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P0 ed è parallelo ai vettori (OP1 - OP0) e (OP2 - OP0); perciò applicando
il caso (b), basta determinare il piano per P0 ortogonale al vettore v = (OP1 - OP0) x (OP2 - OP0).

Estratto del documento

Piani e Rette

Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:

un punto P₀ ed un vettore v ortogonale ad π;
un punto P₀ ed due vettori u e v paralleli ad π;
tre punti P₀, P₁, P₂ di cui non allineati.

Nel caso a): sia P₀(x₀, y₀, z₀) e v(a, b, c), se P(x, y, z) è il generico punto di π, il vettore (OP - OP₀) è parallelo ad π e quindi è ortogonale a v. Si ha perciò la equazione vettoriale:

v · (OP - OP₀) = 0

che, passando dai vettori alle componenti, diventa:

a(x-x₀) - b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

da cui l'equazione cartesiana:

(*) π: ax + by + cz + d = 0 dove d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)

Un piano π si rappresenta quindi con un'equazione lineare in x, y, z e i coefficenti della inequazione sono le componenti di un vettore ortogonale ad π. Se si moltiplica la (*) per un fattor non nullo, si ottiene un'equazione che rappresenta lo steggio piano, perciò l'equazione cartesiana di π è determinata a meno di un fattore di proporzionalita'.

Nel caso b) è facile ricondursi al caso a); basta osservare che il piano passante per un punto P₀ parallelo a due vettori u e v è il piano per P₀ ortogonale al vettore v = u ^ v

Nel caso c) si cerca il piano passante per i punti P₀, P₁, P₂; basta osservare che π è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P₀ ed è parallelo ai vettori (OP₁ - OP₀) e (OP₂ - OP₀). e perciò applicando il caso b), basta determinare il piano per P₀ ortogonale al vettore v = (OP₂ - OP₀) ^ (OP₂ - OP₀).