Area del poligono regolare

In questo appunto di Geometria si tratta il concetto di area di un poligono regolare. Dopo una breve introduzione sulle proprietà e le caratteristiche dei poligoni regolari, si procederà con il calcolo dell'area di un poligono regolare a cui seguiranno relativi esercizi svolti.

Definizione di poligono regolare

Un poligono regolare è una figura geometrica piana definita da una linea spezzata chiusa, tale per cui i suoi lati sono congruenti tra loro e i suoi angoli sono congruenti tra loro.
In altre parole, un poligono regolare è equiangolo ed equilatero. Prima di procedere con la formulazione dell'area è opportuno definire degli strumenti che caratterizzano i poligoni e che saranno utili alla formulazione della sua area.

Numero fisso, apotema, costante d'area e perimetro di un poligono regolare

Numero fisso di un poligono regolare: i poligoni regolari si caratterizzano per il numero dei loro lati, per si ha un triangolo equilatero, per si ha un quadrato, per un pentagono regolare, per un esagono regolare, e così via. Ogni poligono, in funzione del numero dei suoi lati sarà caratterizzato da una costante, detta numero fisso .
Apotema di un poligono regolare: tra le proprietà dei poligoni regolari abbiamo che, date due circonferenze concentriche, questi sono circoscrivibili e inscrivibili in esse.
l'apotema di un poligono regolare coincide proprio con il raggio della circonferenza inscrivibile nel poligono. Quest'ultima, oltre ad essere utile nella formulazione dell'area, si calcola tramite il lato del poligono e il numero fisso :

Costante d'area: analogamente a quanto detto per il numero fisso, vi è un'altra costante che caratterizza i poligoni regolari e che dipende solamente dal numero di lati

che esso possiede. Questa quantità viene chiamata costante d'area e la indichiamo con . In particolare, in ogni poligono regolare il rapporto tra l'area e il quadrato del suo lato è costante, ed è solo funzione del numero dei lati del poligono, ovvero:

Perimetro di un poligono regolare: Il perimetro consiste nella misura della lunghezza del contorno del poligono. Pertanto, dato un poligono di

lati, regolare, per cui con gli lati tutti uguali fra loro, si definisce perimetro del poligono regolare il prodotto tra il numero dei lati e la lunghezza del lato , ovvero:

Area del poligono regolare

Viene definita area del poligono regolare il prodotto fra semiperimetro e apotema, ovvero il prodotto fra perimetro e apotema diviso , indipendentemente dai lati posseduti dal poligono. La sua formulazione è la seguente:

Se considero un poligono regolare di

lati e traccio le bisettrici di ciascun angolo interno, il poligono regolare verrà suddiviso in triangoli isosceli tutti congruenti e l'intersezione di tali bisettrici restituirà un vertice in comune, ovvero il centro del poligono .
In altre parole allora avremo che ogni triangolo isoscele avrà per base il lato del poligono e la sua altezza verrà rappresentata dall’apotema , nonché quel segmento che congiunge il centro del poligono con un suo lato formandone un angolo retto.
Se volessimo calcolare l’area del poligono a partire dai triangoli congruenti che lo costituiscono, basterebbe calcolare l’area di un triangolo e moltiplicarla per il numero totale dei triangoli costituenti. I passi da fare sono i seguenti:

• Calcolo l’area di un triangolo come:
  [math]
  A_T=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{l\cdot a}{2}
  [/math]
• Dal momento che il poligono regolare è formato da N triangoli, la sua area sarà
  [math]
  A_P= N\frac{l\cdot a}{2}
  [/math]
• Scrivo la formula in termini di perimetro,
  [math]
  P=N\cdot l
  [/math]

• Ottengo in conclusione:
  [math]
  A_P=\frac{P \cdot a}{2}
  [/math]

Per concludere, dunque, l’area del poligono regolare si ottiene dal prodotto del suo perimetro per l’apotema diviso 2.

Esercizi svolti

Esercizio 1: Calcolare l'area di un esagono regolare avente un perimetro di . Il valore della lunghezza dei suoi lati sarà:

Tramite la formula dell'apotema è possibile calcolare il suo valore a partire dalla lunghezza del lato

e il numero fisso , il quale per l'esagono coincide con il valore di In particolare, l'apotema è calcolato come segue:

Una volta ottenuti tutti gli strumenti necessari, si può procedere al calcolo dell'area come segue:

Esercizio 2: Calcolare l'area di un pentagono regolare nel quale è inscritta una circonferenza di raggio pari a

. Il pentagono regolare presenta lati congruenti e il suo numero fisso corrispondente è pari a

.

Il raggio della circonferenza inscritta nel poligono coincide con l’apotema, pertanto:

Da qui, è possibile calcolare il lato come segue:

Dunque, il perimetro sarà dato da:

Ed infine l’area calcolata sarà pari a:

Esercizio 3: Determina il lato di un ottagono regolare sapendo che l'area del singolo triangolo isoscele che lo costituisce è pari a

.
L'ottagono regolare si caratterizza per la presenza di lati congruenti. Considerato che lo si può scomporre in triangoli, la sua area complessiva sarà data dalla somma delle aree dei singoli triangoli, ovvero:

Una volta ottenuta l'area dell'ottagono regolare e considerando che la sua costante d'area è

, è possibile calcolare il lato dell'ottagono come segue:

Per ulteriori approfondimenti sui Teoremi sui poligoni, vedi qui