Il cubo in geometria: formule per calcolare area e volume

In questo appunto viene analizzato in modo approfondito il cubo e vengono esposte le formule principali e utili per la risoluzione dei problemi riguardanti il calcolo dell’area di base, dell’area laterale, dell’area totale e del volume di un cubo. Per comprendere al meglio tale spiegazione è prima utile ripassare le caratteristiche del quadrato e il calcolo dell’area di tale figura.

Il quadrato: caratteristiche e area

Il quadrato è un particolare tipo di poligono che è costituito da 4 lati congruenti (di uguale lunghezza) disposti in modo perpendicolare e da quattro angoli di uguale ampiezza.

Esiste una regola che afferma che la somma degli angoli interni di un poligono è sempre pari a un angolo giro (angolo con ampiezza pari a 360°), dato che abbiamo detto che un quadrato è composto da 4 angoli di uguale ampiezza, si può facilmente calcolare l’ampiezza di un angolo del quadrato:

Il quadrato è quindi costituito da quattro angoli congruenti di ampiezza 90°, gli angoli che sono caratterizzati da tale ampiezza vengono anche chiamati angoli retti.

È importante precisare che il quadrato è una figura caratterizzata da 4 lati congruenti e da 4 angoli congruenti e retti.
Se una figura è composta da quattro angoli congruenti e retti ma i lati che la compongono non sono congruenti allora tale figura non è un quadrato ma viene definita un rettangolo.

Dato che il quadrato è formato da 4 lati disposti in modo perpendicolare, l’area del quadrato può essere calcolata moltiplicando il lato del quadrato per sé stesso (il prodotto di una quantità con sé stessa corrisponde al quadrato della quantità); l’area del quadrato può quindi essere espressa attraverso la seguente relazione:

Dove

corrisponde al lato del quadrato.

Si definisce diagonale il segmento che congiunge due vertici opposti, la lunghezza della diagonale corrisponde a:

Per ulteriori approfondimenti sul quadrato e le sue caratteristiche vedi anche qua

Per ulteriori approfondimenti sugli angoli e sulle principali classificazioni vedi anche qua

Il cubo: caratteristiche e area

Il cubo è un solido tridimensionale generato dall’estensione tridimensionale del quadrato; il cubo è quindi una figura solida che ha un quadrato come base e che ha un’altezza che ha lunghezza congruente al lato del quadrato di base.
L’estensione del quadrato di base nella direzione verticale è fatta lungo una direzione perpendicolare alla base per questo motivo la superficie inferiore e quella superiore hanno la caratteristica di essere su due piani paralleli.

Il cubo può anche essere visto come un parallelepipedo avente una base quadrata e avente altezza congruente al lato del quadrato di base.

Il cubo è quindi costituito da 6 facce, le facce opposte sono disposte su piani paralleli.

Gli elementi fondamentali che caratterizzano il cubo sono le facce (superfici bidimensionali che individuano la superficie del cubo), gli spigoli (segmenti di intersezione di due facce) e i vertici (punti di intersezione tra 3 facce).
Per le proprietà di congruenza dette in precedenza si può affermare che il cubo è caratterizzato da 6 facce quadrate e aventi la stessa area, è costituito da 12 spigoli equivalenti aventi lunghezza pari al lato del quadrato di base ed è costituito da 8 vertici equivalenti.

Considerando che l’area di un quadrato è pari al prodotto del lato di base per sé stesso, e considerando che ogni faccia del cubo ha una forma quadrata, è possibile esprimere le formule utili per il calcolo di alcune aree del cubo.

La base del cubo è un quadrato perciò considerando un cubo di lato l, l’area di base corrisponde a:
Ab (Area di base)=

(Lato alla seconda)

L’area laterale del cubo corrisponde all’area individuata dalle 4 facce che delimitano la superficie laterale del cubo, dato che ogni faccia ha un’area pari a

, l’area della superficie laterale sarà corrispondente a 4 volte l’area di una faccia.
Al (Area laterale)=

(Area di base per 4)

L’area totale del cubo corrisponde alla superficie totale della figura tridimensionale, dato che il cubo è costituito da 6 facce, l’area totale sarà equivalente a 6 volte l’area di una faccia perciò:
At (Area totale)=

(Area di base per 6)

Infine è possibile calcolare il volume del cubo ovvero la quantità di spazio racchiusa all’interno del cubo, in genere il volume può essere calcolato moltiplicando l’area di base per l’altezza del solido, anche nel cubo è possibile utilizzare questa relazione perciò il volume del cubo corrisponde all’area di base per l’altezza ovvero il lato del cubo.
V (Volume)

(Lato alla terza)

In modo analogo a quanto fatto per il quadrato, anche nel caso del cubo è possibile individuare delle diagonali: la diagonale di una faccia è quel segmento che collega due vertici opposti e appartenenti alla stessa faccia, la lunghezza di tale diagonale è:

Nel cubo è anche possibile individuare un secondo tipo di diagonale che in questo caso collega due estremi opposti appartenenti a due facce diverse, la lunghezza della diagonale è pari a: