Geometria - Prime definizioni

Questo appunto di geometria piana è pensato come un breve vademecum per tenere sempre sottomano tutte le definizioni di base. Può essere utile anche per fare un ripasso generale prima di una verifica. Le definizioni riportate vanno dagli elementi fondamentali della geometria euclidea, punto, retta e piano, a quelle relative ai triangoli, tutto in maniera molto schematica.

Geometria le origini

La geometria nacque da necessità di carattere pratico e i primi risultati furono ottenuti sperimentalmente sulla base della semplice osservazione.

Euclide nel 300 a.C. nell’opera Elementi sistemò in maniera perfetta il complesso delle conoscenze geometriche elaborate sino a quel momento. Il procedimento seguito da Euclide è quello della scienza deduttiva, il sistema logico da lui sviluppato introduce gli enti geometrici fondamentali e un certo numero di proprietà; da queste deduce tutto il complesso delle verità geometriche per mezzo di ragionamenti semplici ma rigorosi. Per poter costruire l’edificio della geometria occorre dunque fissare alcuni concetti base fondamentali sui quali poter operare per sviluppare in maniera razionale tutte le proprietà successive delle figure geometriche.

Introduzione alla geometria del piano

Gli enti fondamentali sui quali la geometria opera sono tre: il punto, la retta e il piano; le proposizioni fondamentali che si utilizzano come base della geometria e che ne determinano tutto il contenuto, vengono chiamate assiomi o postulati.
Enti geometrici fondamentali e postulati sono le prime elementari nozioni che si pongono alla base dello studio della geometria e costituiscono i primi concetti da cui partono tutte le definizioni successive. Proprio perché sono l’iniziale anello della catena di definizioni e di teoremi di tutta la geometria, gli enti fondamentali non si definiscono e i postulati non si dimostrano.
I concetti di punto, retta e piano sono concetti primitivi dei quali non si dà la definizione. Ciò che tracciamo sul foglio sono soltanto rappresentazioni, perché gli enti fondamentali sono ideali, cioè sono ottenuti con astrazione dal mondo fisico che ci circonda. Ad esempio, il punto della geometria non ha dimensioni e può essere considerato come astrazione del segno che lasciamo con una matita per rappresentarlo. I punti sono gli enti che costituiscono tutte le figure.
Una figura geometrica è un insieme di punti.
Se tutti i punti di una figura appartengono a uno stesso piano la figura è piana, altrimenti la figura è solida.

Postulati di appartenenza e postulati d’ordine

Elenchiamo i cinque postulati di appartenenza

• 1. Ad una retta appartengono almeno due punti distinti e ad un piano almeno tre punti distinti non allineati
• 2. Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola
• 3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo
• 4. Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta
• 5. Se abbiamo una retta passante per due punti di un piano allora essa appartiene al piano

Ogni retta può essere orientata stabilendo un verso di percorrenza su di essa, in tal modo presi due punti A e B, è possibile stabilire se il primo precede il secondo oppure se il primo segue il secondo.
Elenchiamo i quattro postulati d’ordine

• 1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A.
• 2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
• 3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
• 4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede A.

Prime definizioni

: Insieme di infiniti punti.
Piano: Insieme di infiniti punti e infinite rette.
Spazio: Insieme di infiniti punti, di infinite rette e infiniti piani.
Semiretta: La semiretta è ciascuna delle due parti in cui è divisa una retta da un suo punto chiamato origine delle due semirette.
Segmento: Il segmento è quella parte di retta compresa tra due punti appartenenti ad essa chiamati estremi del segmento.
Semipiano: il semipiano è ciascuna delle due parti in cui è diviso un piano da una retta chiamata origine dei due semipiani.

Angolo: si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano rimane diviso da due sue semirette aventi la stessa origine
Angolo concavo: un angolo si dice concavo quando contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Angolo convesso : un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Angolo piatto: L’angolo piatto ha per lati le due semirette opposte, ed ha un’ampiezza di 180°.
Angoli consecutivi: Due angoli che appartengono ad uno stesso piano si dicono consecutivi quando hanno il vertice e un lato in comune
Angoli adiacenti: Due angoli si dicono adiacenti, se sono consecutivi e se i lati non comuni sono semirette opposte.
Angoli opposti al vertice: Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Gli angoli opposti al vertice sono formati da due rette incidenti e sono congruenti a coppie. Se le rette incidenti sono anche perpendicolari allora i quattro angoli che si formano sono tutti di 90°.
Angolo giro e angolo nullo: Gli angoli giro e nullo si formano quando le due semirette aventi l’origine in comune sono sovrapposte.
Bisettrice di un angolo: La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide in due parti uguali l’angolo. La bisettrice di un angolo è un luogo geometrico, i suoi punti sono equidistanti dai lati dell’angolo.
Per approfondimenti sugli angoli vedi anche qui

Ampiezze ed Angoli notevoli

: un angolo retto misura 90° ed è la metà di un angolo piatto
Angolo acuto: un angolo acuto ha ampiezza minore dell’angolo retto.
Angolo ottuso: un angolo ottuso ampiezza maggiore dell’angolo retto.
Angoli complementari: due angoli si dicono complementari quando la loro somma equivale ad un angolo retto. Angoli complementari di uno stesso angolo sono tra loro congruenti.
Angoli supplementari: due angoli si dicono supplementari quando la loro somma equivale ad un angolo piatto. Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
Angoli esplementari: due angoli si dicono esperimentare quando la loro somma equivale ad un angolo giro.
Con gli angoli si possono effettuare le operazioni di somma e differenza.
Per un angolo è possibile definire anche il suo multiplo e il suo sotto multiplo.
Per approfondimenti sulle operazioni con gli angoli vedi anche qui

Le posizioni reciproche tra rette nel piano e nello spazio

: due rette si definiscono perpendicolari quando nel loro punto di intersezione formano quattro angoli retti.
Rette parallele: due rette si definiscono parallele quando non hanno alcun punto in comune. Quando due rette sono parallele la distanza tra esse è costante. Se una retta è perpendicolare ad una delle due, allora è perpendicolare ad entrambe.
Rette coincidenti: due rette si definiscono coincidenti quando tutti i punti di una coincidono con quelli dell’altra ovvero una retta è parallela se stessa.
Rette sghembe: due rette si dicono sghembe quando non esiste alcun piano che le contenga entrambe nello spazio.
Per approfondimenti sulla retta vedi anche qui

Poligoni e triangoli

: è la figura formata da più segmenti consecutivi che appartengono ad uno stesso piano.
Lati della poligonale: sono i segmenti che determinano la poligonale e che sono disposti consecutivamente l’uno all’altro.
Vertici della poligonale: sono tutti gli estremi dei segmenti che formano la linea spezzata.
Tipi di poligonale:

aperta quando è dotata di un primo ed ultimo punto che sono i suoi estremi.
chiusa quando l’estremo iniziale e quello finale coincidono in questo modo la poligonale racchiude una parte del piano.
intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano.

: è la figura formata da una poligonale chiusa non intrecciata e dalla parte di piano da essa racchiusa.
Poligono convesso: quando tutti i suoi punti interni appartengono sempre ad uno solo dei due semi piani individuati dalla retta di ogni sul lato.
Poligono concavo: quando non sempre tutti i suoi punti interni appartengono ad uno solo dei due semi piani individuati dalla retta di ogni suo lato.

Elementi del poligono

I vertici e i lati della poligonale sono anche i vertici e i lati del poligono. In ogni poligono il numero dei vertici è sempre uguale al numero dei lati.
Gli angoli convessi formati dalle coppie di lati consecutivi si dicono angoli interni, invece gli angoli esterni sono gli angoli adiacenti agli angoli interni.
Il numero degli angoli di un poligono è uguale a quello dei vertici, e quindi anche a quello dei lati.
La poligonale si chiama anche contorno del poligono.
La diagonale di un poligono è il segmento che congiunge due vertici non consecutivi.
La corda di un poligono è un segmento che congiunge due punti del suo contorno non appartenenti allo stesso lato.
Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati, due poligoni si dicono isoperimetrici quando il perimetro dell’uno è uguale al perimetro dell’altro.
La denominazione di un poligono è legata al numero dei suoi lati, e quindi ai suoi angoli.
Poligoni di 3, 4, 5, 6 lati si chiamano rispettivamente: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono. Se lati ed angoli sono tutti ordinatamente uguali allora si parla di poligoni regolari.

Triangoli, classificazione, elementi notevoli e criteri di congruenza

Il triangolo è un poligono avente 3 lati e 3 angoli.
Rispetto ai lati possiamo elencare i seguenti triangoli:
Triangolo scaleno, con i tre lati tutti diversi
Triangolo isoscele, con due lati congruenti
Triangolo equilatero, con i tre lati e i tre angoli congruenti
Rispetto agli angoli, abbiamo:
Triangolo acutangolo: con tutti angoli acuti. Il triangolo equilatero è equiangolo ed acutangolo.
Triangolo rettangolo: è presente un angolo retto.
Triangolo ottusangolo: è presente un angolo ottuso.
In ogni triangolo abbiamo i seguenti elementi:

Sono tre e riportiamomi loro enunciati.
Primo: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso.
Secondo: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti.
Terzo: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati.

Per ulteriori approfondimenti sui criteri di congruenza vedi anche qui