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regole e formule del pentagono


Il pentagono

Si definisce pentagono (dal greco "Penta" + "Gonon" = "cinque angoli") un poligono formato da cinque lati, e di conseguenza cinque angoli.

Si ricorda che un poligono è la parte finita di un piano limitata da una spezzata chiusa e non intrecciata. In base a questa definizione di poligono, si capisce come un pentagono possa essere sia concavo che convesso: un poligono si dice convesso se tutti i prolungamenti dei suoi lati non lo attraversano. Detto questo, nella presente trattazione considereremo solo i pentagoni convessi.

I pentagoni godono di alcune proprietà. In geometria, si definisce diagonale di un poligono il segmento che congiunge due vertici non consecutivi. In base a questa definizione, si capisce come da ogni vertice di un pentagono possano partire due diagonali. Le due diagonali uscenti da un medesimo vertice lo dividono in tre triangoli. Poichè sappiamo che la misura degli angoli interni di un triangolo è 180°, questo ci porta alla conclusione che la somma degli angoli interni di un pentagono è 180° x 3 = 540°.

Tra tutti i possibili pentagoni, esiste una categoria "privilegiata", per così dire, di pentagoni. Il termine "privilegiata" è dovuto al fatto che in questi pentagoni la determinazione dell'area o del valore dei loro lati risulta notevolmente più semplice. Si tratta dei pentagoni regolari.

Un pentagono regolare è un pentagono convesso che ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. In altre parole, un pentagono è regolare quando è equilatero ed equiangolo. Poichè abbiamo detto che nei pentagoni la somma degli angoli interni è pari a 540°, nei pentagoni regolari ogni angolo misura: 540° : 5 = 108°.

Sappiamo che ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza, e che le due circonferenze (una circoscritta, l'altra inscritta) hanno il medesimo centro (detto centro del poligono). A questo non fa dunque eccezione il pentagono regolare.

Per questi pentagoni risulta molto più semplice anche il loro tracciamento: i manuali, sia di geometria che di disegno tecnico, riportano spesso delle possibili costruzioni del pentagono regolare dato il lato o data la circonferenza circoscritta.

Il raggio della circonferenza circoscritta si ottiene congiungendo il centro O del pentagono con uno qualunque dei suoi vertici. Il raggio della circonferenza inscritta si ottiene invece mandando dal centro O una retta perpendicolare ad uno qualunque dei lati del pentagono.

Sappiamo che il raggio della circonferenza inscritta in un poligono viene chiamato apotema del poligono. Nei poligoni regolari (e quindi anche nel pentagono regolare) conoscere il valore dell'apotema è molto importante, perchè permette di calcolare molto facilmente la loro area.

Senza affrontare dimostrazioni che sono già state affrontate nell'appunto relativo all'apotema di un poligono, diremo semplicemente che nel pentagono regolare:

[math]AREA= \frac{5 \cdot L \cdot a}{2}[/math]
, dove L è il lato di base, mentre a è il suo apotema.


La quantità 5L è pari al perimetro (indicato con il simbolo 2P) del pentagono.
Possiamo dunque scrivere:

[math]Area= \frac{2P\cdot a}{2} = P \cdot a[/math]


Sarebbe a dire che: l'area del pentagono regolare è uguale al prodotto della misura del semiperimetro P per quella del suo apotema (a).

Dalla formula appena vista derivano poi due formule inverse, utili per calcolare:

1) L'apotema di un pentagono regolare qualora siano noti l'area e il semiperimetro;

2) Il perimetro di un pentagono regolare qualora siano noti l'area e l'apotema;

[math] a= \frac{A}{P}[/math]

[math] 2P = \frac{2A}{a}[/math]

Calcolo dell'apotema del pentagono regolare

In ogni poligono regolare - e quindi anche nel pentagono regolare- esiste una relazione ben precisa tra la misura del lato (L) e l'apotema (a).

Sarebbe a dire che è possibile determinare la misura dell'apotema moltiplicando la misura del lato per un certo numero fisso. Il valore di questo numero dipende dal numero di lati del poligono:

[math]a = L \cdot (n° fisso)[/math]


Poichè nel pentagono questo valore è pari a 0,6882, possiamo scrivere che:

[math]a = L \cdot 0,6882[/math]


Da cui deriva una formula inversa:

[math] L = \frac{a}{0,6882}[/math]


Calcolo del raggio della circonferenza circoscritta del pentagono regolare

Grazie all'apotema, è possibile nel pentagono regolare determinare anche la misura del raggio della circonferenza circoscritta.
I cinque raggi della circonferenza circoscritta che congiungono il centro O con i vertici del pentagono lo dividono infatti in cinque triangoli isosceli. Il lato del pentagono è la loro base, mentre l'apotema del pentagono è la loro altezza rispetto alla base..
Poichè nel triangolo isoscele l'altezza rispetto alla base è anche sua mediana (cioè divide la base a metà), è possibile calcolare il raggio (R) della circonferenza circoscritta al pentagono grazie al Teorema di Pitagora.

[math] R = \sqrt{(\frac{L}{2})^2 + (a)^2}[/math]


Da questa formula derivano poi due formule inverse, utili per calcolare:

1) L'apotema del pentagono regolare qualora siano noti il lato e il raggio della circonferenza circoscritta;

2) Il lato del pentagono regolare qualora siano noti l'apotema e il raggio della circonferenza circoscritta;

[math] a = \sqrt{R^2 - (\frac{L}{2})^2}[/math]

[math] \frac{L}{2}= \sqrt{R^2 - a^2}[/math]

[math] L= 2 \cdot \sqrt{R^2 - a^2}[/math]

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