Come determinare l'equazione della retta passante per due punti con esempio

In quest'appunto potrai trovare tutto il necessario per ricavare l'equazione di una retta passante per due punti. In fondo alla pagina è presente un esercizio svolto e commentato su quest'argomento e due proposte di esercizi da svolgere in autonomia con annessa soluzione.

Cos'è una retta e come calcolarne l'equazione

La retta è uno degli enti fondamentali della geometria, ossia degli elementi rappresentanti mediante un'intuizione.

Per definizione, la retta è una sequenza di infiniti punti disposti lungo la stessa direzione e ha una sola dimensione, ossia la lunghezza.

Ci sono diversi assiomi - ossia principi deduttivi non dimostrabili - legati alla retta, cioè:

• per un punto passano infinite rette
• per due punti passa una e una sola retta. Analogamente, si può affermare che se una retta ha due punti in comune con un piano, essa giace sul piano

Dal punto di vista matematico, la retta può essere rappresentata attraverso un'equazione. In particolare:

• [math]y=mx+q[/math]
  è detta equazione in forma esplicita della retta, dove
  [math]m[/math]
  è il coefficiente angolare e
  [math]q[/math]
  è l'intercetta della retta
• [math]ax+by+c=0[/math]
  è detta equazione in forma implicita della retta

Per scrivere l'equazione di una retta è possibile adottare diversi approcci, in relazione al tipo di informazioni di cui disponiamo. Per farlo, tuttavia, è necessario almeno conoscere:

• due punti appartenenti alla stessa retta
• un punto della retta e il suo coefficiente angolare

Il primo caso verrà approfondito nel paragrafo successivo. Se si dispone di un punto della retta e del suo coefficiente angolare, per ricavare l'equazione è necessario utilizzare questa formula:

, dove

è il coefficiente angolare della retta e

sono le coordinate del punto A che appartiene alla retta.

Se, ad esempio, la retta ha coefficiente 2 e passa per il punto

, l'equazione sarà:

, ossia

. Essa può essere scritta in:

• forma implicita, ossia
  [math]y-2x+6=0[/math]
• forma esplicita, cioè
  [math]y=2x-6[/math]

Calcolo dell'equazione di una retta passante per due punti

Come abbiamo già anticipato, è possibile calcolare l'equazione di una retta se si conoscono due punti ad essa appartenenti. In questo caso, definiti i punti

e

, si può ottenere l'equazione applicando questa formula:

.
Sostituendo i numeri e isolando la

al primo membro si ottiene la forma esplicita dell'equazione mentre se si sposta tutto al primo membro si può scriverne la forma implicita.

Svolgimento:

La formula per la retta passante per due punti

e

è:

In questo caso:

Poniamo a sistema questa retta con la parabola e per fare

in modo che i due luoghi risultino tangenti, imponiamo

Ora

(

):

Perciò la parabola tangente alla retta

è:

.

Dopo aver letto la teoria e la risoluzione commentata del precedente esercizio, prova a svolgere i seguenti quesiti. La soluzione commentata è in fondo alla pagina.

Esercizi: calcola le equazioni delle rette e commenta il risultato

• Calcola l'equazione della retta passante per questi due punti:
  [math]A(2,-2),B(1,-4)[/math]
• Calcola l'equazione della retta passante per il punto
  [math]C(3,-3)[/math]
  , avente coefficiente angolare pari a
  [math]3[/math]

Svolgimento degli esercizi

• Per calcolare l'equazione di una retta passante per due punti è necessario applicare la formula precedentemente analizzata, cioè
  [math]\frac{y-y_a}{y_b-y_a}=\frac{x-x_a}{x_b-x_a}[/math]
  . Considerando che i punti da utilizzare in questo caso sono
  [math]A(2,-2),B(1,-4)[/math]
  , possiamo scrivere che:
  [math]\frac{y-(-4}{-2-(-4)}=\frac{x-2}{1-2}[/math]
  .
  Quindi
  [math]\frac{y+4}{2}=\frac{x-2}{-1}[/math]
  , ossia
  [math]-y-4=2x-4[/math]
  ,
  [math]y=-2x[/math]
  . La retta passante per i punti indicati è una retta di coefficiente angolare 2 e di intercetta 0. Questo è un caso particolare: una retta di intercetta zero è una retta passante per l'origine degli assi.
• In questo caso, poiché è noto un solo punto
  [math]C(3,-3)[/math]
  e il coefficiente angolare della retta 3, è necessario applicare la formula
  [math](y-y_a)=m(x-x_a)[/math]
  .
  In questo caso:
  [math](y-(-3)=3(x-3)[/math]
  , cioè
  [math]y+3=3(x-3)[/math]
  ,
  [math]y+3=3x-9[/math]
  ,
  [math]y=3x-12[/math]
  riscrivibile in forma esplicita come
  [math]y-3x+12=0[/math]
  . La retta passante per
  [math]C(3,-3)[/math]
  e con coefficiente angolare 3 ha un'intercetta pari a 12.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dell'equazione della retta passante per due punti vedi anche qua