Angoli: definizioni, proprietà e postulati

Nel seguente appunto sono enunciati alcuni postulati relativi agli angoli, e alcune proprietà di questi ultimi. Inoltre, si imparerà a distinguere i vari tipi di angoli, se essi sono acuti, retti e ottusi. Verrà inoltre fornita la definizione di angoli complementari, supplementari ed esplementari, caratteristica di due o più angoli.

Definizione di angolo

Premesso inoltre che l'angolo è definito come una delle due parti di piano delimitate da due semirette, nei paragrafi successivi denoteremo con le lettere minuscole dell'alfabeto le semirette.
Si ricorda che una semiretta è una delle due parti di retta delimitate da un punto qualsiasi appartenente alla retta (oppure, una retta con un'origine ma senza una fine).

Confronto di angoli

Come per i segmenti, anche per gli angoli si può fare il confronto: confrontare due angoli significa stabilire quale dei due sia il più ampio, o se gli angoli hanno la stessa ampiezza.

In maniera intuitiva, per confrontare due angoli occorre trasportare un angolo e sovrapporlo all'altro.

Si ha il seguente postulato:

Postulato del trasporto dell'angolo: Dato un angolo

e una semiretta , esiste una e una sola semiretta , avente origine coincidente con quella di e giacciano da una parte prefissata del piano rispetto a , tale che l'angolo sia congruente all'angolo .

Volendo confrontare due angoli

e , e utilizzando il postulato precedente, sappiamo che esiste una e una sola semiretta , con le caratteristiche sopra descritte, tale che , per confrontare i due angoli occorre controllare dove cade ; si possono presentare tre casi:

• se
  [math]s[/math]
  è interna a
  [math]cd[/math]
  , l'ampiezza dell'angolo
  [math]ab[/math]
  è minore dell'ampiezza dell'angolo
  [math]cd[/math]
  (
  [math]\widehat{ab} > \widehat{cd}[/math]
  );
• se
  [math]s[/math]
  è esterna a
  [math]cd[/math]
  , l'ampiezza dell'angolo
  [math]ab[/math]
  è maggiore dell'ampiezza dell'angolo
  [math]cd[/math]
  (
  [math]\widehat{ab} > \widehat{cd}[/math]
  );
• se
  [math]s[/math]
  coincide con
  [math]cd[/math]
  , allora
  [math]ab[/math]
  e
  [math]cd[/math]
  hanno la stessa ampiezza (
  [math]ab \cong cd[/math]
  ).

Somma di angoli

Anche per due angoli, che sono consecutivi, si può definire la somma: la somma di due angoli consecutivi è data dall'angolo che ha per lati i lati non comuni dei due angoli dati.

Differenza di angoli

Dati due angoli, tali che l'ampiezza del primo sia maggiore dell'ampiezza del secondo, possiamo anche definire la differenza di angoli: la differenza di due angoli è quell'angolo che sommato al secondo angolo ci restituisce il primo angolo.
La somma di due angoli è già stata definita nel paragrafo precedente.

Postulato: somme di angoli rispettivamente congruenti sono congruenti; differenza di angoli rispettivamente congruenti sono congruenti.

Angoli esplementari

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è pari ad un angolo giro.
Si ricorda che un angolo giro è un angolo avente ampiezza.
Ad esempio, gli angoli concavi e convessi individuati dalle stesse semirette sono esplementari.

Angoli supplementari

Due angoli si dicono supplementari se hanno come somma un angolo piatto. Si ricorda che un angolo piatto è un angolo avente ampiezza.
Due angoli adiacenti sono sicuramente supplementari; quindi, dato un angolo qualunque, per costruire il suo supplementare basta costruire il suo angolo adiacente.

Poiché differenze di angoli congruenti sono congruenti, possiamo affermare che angoli supplementari di uno stesso angolo sono congruenti fra loro.

Angoli complementari

Due angoli la cui somma è congruente ad un angolo retto si dicono complementari. Si ricorda che un angolo retto è un angolo avente ampiezza pari a . Se si considera un triangolo rettangolo avente come base l'ipotenusa, gli angoli adiacenti alla base sono complementari. Questo accade perché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a e l'angolo opposto all'ipotenusa misura .

Angolo retto

Un angolo retto è un angolo che misura , che è cioè la metà di un angolo piatto. È curioso notare che l'angolo supplementare ad un angolo retto è l'angolo retto stesso.

Angoli acuti e angoli ottusi

Confrontando gli angoli con angoli retti, possiamo classificarli come angoli acuti o angoli ottusi. Un angolo acuto è un angolo avente ampiezza minore di un angolo retto, mentre un angolo ottuso è un angolo avente ampiezza maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.
Per esempio, considerati due angoli aventi ampiezza pari a e , il primo è acuto e il secondo è ottuso.

Angoli opposti al vertice

Due angoli convessi si dicono opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro; angoli opposti al vertice sono congruenti.

Bisettrice di un angolo

Consideriamo un angolo di vertice , formato dalle semirette e ; è detta bisettrice di questo angolo la semiretta avente ordine nel vertice , interna all'angolo acuto, e che divide l'angolo stesso in due parti congruenti: cioè, detta la bisettrice deve aversi: .

Per ulteriori approfondimenti sul lessico relativo agli angoli vedi anche qua

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione sugli angoli consecutivi e adiacenti.