Retta in geometria analitica: definizioni e forme

Definizione di retta in forma implicita e forma esplicita

• Definizione 1 - Equazione in forma implicita della retta: Siano dati tre numeri reali
  [math]a,b,c[/math]
  di cui almeno uno tra
  [math]b, c[/math]
  non nullo. Definiamo la retta come il luogo geometrico dei punti del piano
  [math] (x, y) [/math]
  tali che:
  [math] ax+by+c = 0 [/math]
  detta equazione della retta in forma implicita.
• Osservazione 1: Osserviamo che se consideriamo un numero reale
  [math] k [/math]
  non nullo, in simboli
  [math] k \neq 0 [/math]
  , allora se
  [math] ax+by+c = 0 [/math]
  vale anche che
  [math] k(ax + by + c) = k \cdot 0 [/math]
  , cioè che
  [math] akx+bky+ck = 0 [/math]
  . Ad esempio le equazioni
  [math] 3x+2y+1 = 0 [/math]
  e
  [math] 9x+6y+3 = 0 [/math]
  rappresentano due rette coincidenti perché la seconda si ottiene moltiplicando la prima per
  [math] k = 3 [/math]
  . Osserviamo quindi che esistono infinite forme implicite di una retta.
• Definizione 2 - Equazione in forma esplicita della retta: Supponiamo che nell'equazione in forma implicita si abbia
  [math] b \neq 0 [/math]
  . Allora posso esplicitare la
  [math]y[/math]
  ottenendo:
  [math] ax+by+c = 0 \rightarrow by = -ax-c \rightarrow y = \frac{-a}{b}x - \frac{c}{b} [/math]
  . Equivalentemente posso scrivere la retta come:
  
  [math] y = mx + q [/math]
  dove
  [math] m [/math]
  è detto coefficiente angolare e
  [math] q [/math]
  è detta ordinata all'origine. L'equazione scritta sopra è detta equazione della retta in forma esplicita.
• Osservazione 2: Visto che nell'equazione della retta in forma esplicita il coefficiente della
  [math]y[/math]
  è fissato pari a 1, per la retta in forma esplicita non vale un'osservazione analoga a quella fatta prima: per ogni determinata retta esiste al più una sola equazione in forma esplicita. Osserviamo inoltre che l'equazione in forma esplicita è detta, appunto, esplicita perché essa fornisce direttamente, senza bisogno di ulteriori calcoli, il valore di
  [math]y[/math]
  che viene associato ad una determinata
  [math]x[/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua

Rette particolari

Possiamo fare le seguenti osservazioni:

• Osservazione 3: Se nell'equazione della retta in forma implicita imponiamo
  [math] c = 0 [/math]
  , o se equivalentemente poniamo nell'equazione della retta in forma esplicita
  [math] q = 0 [/math]
  , otteniamo le equazioni:
  
  [math] ax+by = 0 \rightarrow y = mx [/math]
  È facile verificare che, indipendentemente dai valori di
  [math]x, y[/math]
  il punto
  [math] O(0, 0) [/math]
  soddisfa entrambe le equazioni ottenute. Dunque esse rappresentano, la prima in forma implicita e la seconda in forma esplicita, una retta passante per l'origine del piano cartesiano. Nella figura in alto una tale retta è indicata in blu.
• Osservazione 4: È chiaro dall'equazione
  [math] y = mx [/math]
  che le rette passanti per l'origine si distinguono l'una dall'altra solo in base al coefficiente angolare
  [math] m [/math]
  , che dunque ne indica la pendenza (in particolare se
  [math] m > 0 [/math]
  allora la retta sarà "ascendente", altrimenti se
  [math] m > 0 [/math]
  la retta sarà "discendente". Se in particolare
  [math] m = 1 [/math]
  , allora anche i punti
  [math] (1,1), (2,2), ...

  (n,n) [/math]
  appartengono alla retta, che dunque divide il primo e il terzo quadrante in due parti uguali: essa è detta bisettrice del primo e terzo quadrante, e ha equazione
  [math] y = x [/math]
  .
  Analogamente se
  [math] m = -1 [/math]
  , allora anche i punti
  [math] (-1, 1),(-2, 2), \dots, (-n, n) [/math]
  appartengono alla retta: essa divide il secondo e il quarto quadrante in due parti uguali, ed è quindi detta bisettrice del secondo e quarto quadrante. La sua equazione è
  [math] y = -x [/math]
  .
• Osservazione 5: Se nell'equazione della retta in forma implicita, poniamo
  [math] a = 0 [/math]
  , o se equivalentemente poniamo nell'equazione della retta in forma esplicita
  [math] m = 0[/math]
  , otteniamo le equazioni:
  
  [math] by = -c \rightarrow y = q [/math]
  Esse sono equazioni di primo grado nella sola
  [math] y [/math]
  , dunque esiste un solo valore che le risolve. Ciò significa che tutti i punti dei luoghi geometrici da esse descritti dovranno avere la stessa ordinata, cioè che essi formano una retta orizzontale. Il fatto che
  [math] m = 0 [/math]
  ci dice infatti che la retta ha pendenza nulla. Questa eventualità è rappresentata nella figura precedente da una retta rossa.
• Osservazione 6: Se accade contemporaneamente che
  [math]a=0, c=0[/math]
  , ci troviamo allo stesso tempo sia nel caso di una retta orizzontale, sia in quello di una retta passante per l'origine: ciò significa che il luogo geometrico descritto deve per forza essere l'asse delle ascisse, che dunque ha equazione
  [math] y = 0[/math]
  , ossia l'insieme di tutti i punti che hanno ordinata nulla.
• Osservazione 7: Consideriamo infine l'eventualità che si verifichi
  [math] b = 0[/math]
  . In questo caso, in virtù della definizione 2, le rette corrispondenti non hanno un'equazione in forma esplicita; quella in forma implicita è invece semplicemente
  [math] ax = c [/math]
  Con ragionamento del tutto analogo a quello svolto nel corso dell'osservazione 7, è lecito concludere che la retta risultante è verticale, cioè parallela all'asse delle
  [math] y [/math]
  . Questo spiega anche l'inesistenza dell'equazione in forma esplicita: il grafico di tale retta associa infiniti valori di
  [math]y[/math]
  a un solo valore di
  [math] x [/math]
  e dunque non si tratta di una funzione. Una simile retta è rappresentata in verde nell'immagine precedente.
• Osservazione 8: Ragionando come nell'osservazione 7, osserviamo infine che l'equazione dell'asse delle ordinate è necessariamente
  [math] x = 0[/math]
  .

Per ulterioriapprofondimenti sul piano cartesiano vedi anche qua

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