Postulati fondamentali della geometria

In questo appunto verranno descritti i postulati fondamentali della geometria euclidea. Verranno enunciati e descritti i differenti postulati di Euclide con estrema attenzione.

Postulati fondamentali della geometria

I postulati (o assiomi) della geometria costituiscono le conoscenze fondamentali a partire dalle quali sono derivate (e dimostrate) ulteriori conoscenze (teoremi).

Si tratta di affermazioni non dimostrate, ma accettate perché evidenti a livello intuitivo e definiscono le relazioni di base tra gli enti primitivi della geometria: il punto, la retta e il piano.

Enti geometrici euclidei fondamentali e i postulati di Euclide

I postulati di Euclide sono un punto cardine della geometria Euclidea, da cui effettivamente deriva il nome. Euclide è infatti considerato come il padre fondatore della geometria. I postulati di Euclide o anche definiti assiomi euclidei o postulati di appartenenza. Questi postulati hanno l'obiettivo comune di andare a definire i cosiddetti legami tra gli Enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Si ricorda che gli enti fondamentali sono principalmente tre. Di seguito una breve descrizione sui tre enti fondamentali:

• Il punto. In quanto ente fondamentale della geometria Euclidea, il punto è privo di dimensione alcuna, che andrà ad occupare nello spazio una determinata posizione, o coordinata, adimensionale spaziale.
• La retta. In quanto ente fondamentale della geometria Euclidea, la retta non è altro che un insieme infinito di punti che risultano essere allineati tra di loro nello spazio. Una retta, in quanto tale, può essere determinata da un'equazione cartesiana che ne permette di localizzarne la posizione nello spazio. La retta risulta possedere solo una lunghezza, pertanto è un ente ad una sola dimensione.
• Il punto. In quanto ente fondamentale della geometria Euclidea, il piano è un luogo geometrico presente nello spazio tridimensionale, possiede due solo due dimensioni, ovvero lunghezza e larghezza ed è privo di spessore alcuno.

Per ulteriori approfondimenti sul punto, vedi qui

I postulati di Euclide

Euclide formulò cinque differenti formulati:

• Primo postulato di Euclide: considerato un punto A appartenente a un piano passano infinite rette, definie anche come fascio di rette.
• Secondo postulato di Euclide: considerati due punti distinti A e B appartenenti ad un piano, attraverso questi passa una ed una sola retta.
• Terzo postulato di Euclide: considerati tre punti A, B e C che non risultano essere allineati, attraverso questi non è possibile individuare alcuna retta passante. Considerati tre punti A, B e C che risultano essere allineati, attraverso questi è possibile individuare una ed una sola retta passante
• Quarto postulato di Euclide: Considerati tre punti A, B e C o una retta, che risultano essere allineati, attraverso questi è possibile individuare infiniti piani passanti, ovvero un fascio di piani passa per essi.
• Quinto postulato di Euclide: Considerati tre punti A, B, C non allineati, attraverso questi passa uno e un solo punto. Considerando una retta e un punto che non appartenga alla retta stessa, attraverso essi passa uno ed un solo piano. Considerando due rette le quali si incontrano in un punto, attraverso queste passa uno ed un solo piano.

Postulati di appartenenza alla retta

Nello specifico, è possibile osservare che esistono differenti postulati di appartenenza alla retta, derivanti proprio dalle formulazioni dei postulati di Euclide sopra esposti. Nello specifico i postulati sono i seguenti riportati:

• Prima postulato di appartenenza della retta (o postulato del passaggio di una retta per due punti): considerati due punti distinti appartenenti ad un piano, questi sono attraversati da una e una sola retta.
• Secondo postulato di appartenenza della retta: Considerata una retta nello spazio, questa comprende almeno due punti distinti.
• Terzo postulato di appartenenza della retta: considerato un piano nello spazio, per ogni retta appartenente a questo stesso piano esiste almeno un punto, nello stesso piano, che non gli appartiene.
• Fascio (proprio) di rette: considerato un punto, su questo passa un fascio di rette infinite.

I postulati di appartenenza della retta appena presentati sopra affermano in modo implicito che ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette e che un dato punto è attraversato da un numero infinito di rette (definito proprio fascio proprio di rette passanti per il punto).

Postulati di appartenenza del piano

Nello specifico, è possibile osservare che esistono differenti postulati di appartenenza al piano, derivanti proprio dalle formulazioni dei postulati di Euclide sopra esposti. Nello specifico i postulati sono i seguenti riportati:

• Primo postulato di appartenenza del piano: considerati Tre punti non allineati, questi sono attraversati da uno e un solo piano nello spazio.
• Punti allineati: considerati due (o più) punti nello spazio che risultano essere allineati, questi in questa situazione appartengono alla stessa retta.
• Secondo postulato di appartenenza del piano: considerati Due punti distinti di un piano nello spazio, questi vanno a definire una retta che giace interamente sul piano stesso.

Postulato dell’ordine

Nello specifico, è possibile osservare che esistono differenti postulati definiti "dell'ordine", derivanti proprio dalle formulazioni dei postulati di Euclide sopra esposti. Nello specifico i postulati sono i seguenti riportati:

• Postulato dell’ordine: considerata una retta, che non è altro che un insieme ordinato, infinito e infinitamente denso di punti, allora si può concludere che non esiste un primo punto né un ultimo punto, ma che tra due suoi punti ne esiste sempre un altro.
• Retta orientata: Secondo il postulato dell’ordine, una retta può essere caratterizzata da un verso di percorrenza (retta orientata), in base al quale si può stabilire se un suo punto ne “precede” o ne “segue” un altro (es. in figura: il punto A precede i punti C e B; C precede B e segue A, B segue sia A sia C).

Per ulteriori approfondimenti sull'applicazione dei postulati di Euclide vedi qua