Angoli complementari definizione e applicazioni

In questo appunto si parla di angoli complementari. Come sempre introduciamo l’argomento a partire dalle definizioni di base della geometria euclidea, parleremo di enti geometrici derivati essendo l’angolo uno di questi. Esaminiamo poi le caratteristiche generali degli angoli, la classificazione e le relazioni con altri angoli. Descriviamo dunque gli angoli complementari, e alcune applicazioni notevoli nella goniometria.

Enti geometrici fondamentali e derivati

Avere una visione a 360° significa che riusciamo a vedere quello che è alla nostra destra alla nostra sinistra e alle nostre spalle.

Almeno una volta ciascuno di noi ha usato questa espressione per indicare di avere sotto controllo una situazione: se sono in grado di vedere alle mie spalle non posso avere sorprese. Molte volte nelle nostre espressioni linguistiche usiamo termini geometrici o matematici anche se non ne abbiamo cognizione di causa.
La geometria è la scienza matematica che studia le forme, le estensioni e le trasformazioni che gli oggetti possono subire nel piano e nello spazio. La geometria studia proprietà di figure ideali e astratte, dette appunto figure geometriche che ritroviamo in gran parte degli oggetti che ci circondano quotidianamente. A fondamento della geometria ci sono gli enti fondamentali e gli assiomi.
Gli enti geometrici fondamentali detti anche primitivi sono gli elementi di cui non viene data una vera e propria definizione perché si possono comprendere in maniera intuitiva, grazie all’esperienza o all’immaginazione. Gli enti fondamentali della geometria sono tre: il punto, la retta e il piano.
Gli assiomi detti anche postulati sono verità matematiche non dimostrate perché ritenute evidenti. Dagli assiomi, attraverso una sequenza di ragionamenti si possono dedurre tutte le altre proprietà ai caratteristiche delle figure geometriche.
Un po' come con le costruzioni, a partire da questi tre enti fondamentali si ricavano gli altri enti geometrici derivati.
Utilizzando le definizioni e le proprietà degli enti primitivi abbiamo: la semiretta, il segmento, la linea spezzata o poligonale e anche l’angolo.

Per ulteriori approfondimenti sugli enti fondamentali di Euclide vedi anche qui

per ulteriori approfondimenti sui postulati vedi anche qui

Cosa è un angolo, definizione e simbologia

Gli angoli sono elementi fondamentali per la classificazione delle figure geometriche e per evidenziare le proprietà degli enti geometrici.
L’angolo è ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette che hanno l’origine in comune.
Per disegnare un angolo dobbiamo prima fare un punto che è l'origine comune alle due semirette e poi tracciare da questo punto due semirette poste a una distanza qualsiasi. In questo modo abbiamo suddiviso il nostro foglio da disegno in due parti, cioè in due angoli.
Le due semirette che delimitano l’angolo costituiscono i suoi lati mentre il punto di origine è chiamato vertice.
Per indicare l'angolo è possibile utilizzare diversi metodi. Si può utilizzare una lettera minuscola dell’alfabeto greco:

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Si può usare la lettera che indica il punto del vertice scritta tra le due lettere che indicano i lati dell'angolo (aVb).
Si possono usare tre lettere maiuscole di cui quella centrale è quella del vertice le altre due indicano ciascuna un punto situato sulle lati dell’angolo. Sulla lettera centrale viene messo un accento circonflesso una sorta di cappelletto. Ad esempio in un triangolo di vertici A, B, C abbiamo gli angoli:

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Se non vi è alcun caso di ambiguità si può utilizzare anche solo la lettera del vertice sempre con l'accento circonflesso sopra.

Posizione relativa tra angoli

In base a come sono posizionati l’uno rispetto all’altro, abbiamo i seguenti tipi di angoli:

Consecutivi: quando oltre al vertice hanno un lato in comune mentre gli altri due lati si trovano da parti opposte.
Adiacenti: sono due angoli consecutivi ma con i lati non comuni situati sulla stessa retta ovvero due semirette opposte.
Opposti al vertice: per questi angoli i lati di uno sono il prolungamento dei lati dell’altro angolo, gli angoli opposti al vertice sono anche congruenti.
Sovrapposti: due angoli sovrapposti hanno il vertice in comune, un lato in comune, e i punti di un angolo sono interamente contenuti anche nell'altro.
Abbiamo ancora la seguente distinzione:
Concavo: è un angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Convesso: è un angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Angoli notevoli in base all’ampiezza

• Angolo Retto: di ampiezza pari a 90°
• Angolo Acuto: di ampiezza minore di 90°
• Angolo Piatto: di ampiezza pari a 180°
• Angolo Ottuso: di ampiezza maggiore di 90°
• Angolo Giro: di ampiezza pari a 360°
• Angolo Nullo: di ampiezza pari a 0°

Due angoli adiacenti sono sempre due angoli supplementari di cui uno acuto e uno ottuso. Un quadrilatero ammette la circonferenza circoscritta se gli angoli opposti sono supplementari. In ogni triangolo ciascun angolo interno è supplementare al suo angolo esterno.

Angoli complementari, supplementari, esplementari

Due angoli si dico complementari se la loro somma è pari ad un angolo retto:

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è pari ad un angolo piatto.

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è pari ad un angolo giro.

Gli angoli complementari devono essere necessariamente acuti. Vale anche il seguente teorema: angoli complementari di uno stesso angolo sono congruenti. I complementari ad uno stesso angolo sono uguali alla differenza fra l'angolo retto e l'angolo a cui sono congruenti.
In ogni triangolo rettangolo i due angoli acuti sono sempre complementari, in particolare se il triangolo rettangolo è anche isoscele i due angoli acuti valgono entrambi 45°.

Angoli complementari e archi associati

Per gli angoli complementari esistono anche delle relazioni tra le funzioni goniometriche degli archi associati. Quando si parla di archi associati ad un angolo

si intende la somma e la differenza di quest'angolo con i principali angoli della circonferenza goniometrica.
Nel caso dei complementari dobbiamo considerare

e il suo angolo complementare

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Considerando il primo quadrante della circonferenza goniometrica che comprende gli angoli da 0° a 90°, per le funzioni seno, coseno e tangente valgono le seguenti relazioni:

Per ulteriori approfondimenti sugli archi associati vedi anche qui