Moto uniformemente accelerato e accelerazione di gravità

In questo appunto descriviamo il moto uniformemente accelerato, un moto in cui la grandezza cinematica accelerazione è assunta costante. Nel primo paragrafo diamo le definizioni di tutte le grandezze cinematiche utili alla comprensione dell’argomento: vettore posizione, vettore spostamento, velocità, accelerazione, legge oraria.

Posizione, spostamento e legge oraria

Per descrivere il moto di un punto materiale in un piano si usa un sistema di riferimento cartesiano con due assi coordinati. Per specificare un punto P del piano o dello spazio a volte è comodo utilizzare il vettore posizione, che congiunge l’origine degli assi al punto P. Il vettore posizione è un vettore applicato, ha la coda in O e la punta in P.
Un corpo è in movimento o in moto quando la sua posizione cambia nel tempo rispetto ad un altro corpo scelto come riferimento.
L’insieme delle posizioni occupate nel tempo da un punto materiale in moto, costituisce una linea detta traiettoria. In alcuni moti la traiettoria è semplice. Per esempio un sasso lasciato cadere si muove lungo una verticale; nel moto di una nave o di un aeroplano la traiettoria è fisicamente rappresentata dalla scia lasciata nell'acqua o nell'aria.
Si chiama legge oraria del moto la relazione matematica che permette di individuare la posizione del corpo in ogni istante.
La legge oraria è espressa da una equazione matematica in cui la variabile è il tempo.
Non tutti i moti, data la loro complessità, possono essere descritti con una legge oraria semplice.
Il moto più semplice e, allo stesso tempo più astratto che possiamo immaginare è il moto rettilineo uniforme, un moto in cui il punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilinea e con velocità costante.

Velocità e accelerazione

e la sua unità di misura è il metro al secondo (m/s), molto spesso viene usata anche un'altra unità di misura che è il chilometro orario (km/h).
È possibile convertire l'una nell’altra queste due unità di misura in particolare:

• se si conosce la velocità in metri al secondo e bisogna esprimerla in chilometri all’ora è necessario moltiplicare il dato per il fattore 3,6.
• se si conosce la velocità in chilometri all’ora e bisogna esprimerla in metri al secondo, bisogna dividere il dato per lo stesso fattore 3,6

e la sua unità di misura è il metro al secondo quadrato

.
Quando viaggiamo in automobile e utilizziamo il tachimetro e l’orologio, siamo in grado di calcolare l’accelerazione che corrisponde alla variazione di velocità in un certo intervallo di tempo. Il dato così calcolato esprime l’accelerazione media del corpo in movimento, cioè l’accelerazione relativa a un certo intervallo di tempo.

Per approfondimenti sulla grandezza cinematica velocità vedi qua

Moto rettilineo uniformemente accelerato MRUA

Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato (o uniformemente decelerato) qualsiasi tipo di moto caratterizzato da una traiettoria rettilinea e da un'accelerazione costante.
In questi casi, il moto è descritto da un sistema di equazioni semplificate, che derivano direttamente dalle leggi generali della cinematica.

NOTA:
Per semplicità, si considera l'istante iniziale

.
I valori della velocità iniziale

e della posizione iniziale

corrispondono, evidentemente, a quest'ultimo.

• L'accelerazione (costante) coincide in qualunque istante con l'accelerazione media. Applicando la definizione di quest'ultima si ricava l'equazione lineare della velocità (istantanea):
[math]a = \overline{a} = \frac{v – v_0}{t - 0} \rightarrow v = v_0 + at[/math]
• Un procedimento analogo, applicato alla definizione della velocità media
  [math]\overline{v}[/math]
  , restituisce l'equazione della posizione
  [math]x[/math]
  :
[math]v = \overline{v} = \frac{x – x_0}{t - 0} \rightarrow x = x_0 + \overline{v} t[/math]
• Se la velocità è definita da una funzione lineare (da una retta) il suo valore medio
  [math]\overline{v}[/math]
  , per qualsiasi intervallo di tempo, è necessariamente pari alla media aritmetica delle velocità all'istante iniziale (
  [math]v_0[/math]
  ) e finale (
  [math]v[/math]
  ) considerati. Per l'intervallo compreso tra il tempo iniziale
  [math]t_0 = 0[/math]
  e un generico istante
  [math]t[/math]
  , si ricava l'equazione della velocità media:
[math]\overline{v} = \frac{1}{2} (v_0 + v)[/math]
[math]\text{se } \\ v = v_0 + at \\ \text{ allora} \\ \overline{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_0+ at)[/math]
[math]v(t)=\frac{1}{2}(2v_0+at)=v_0+\frac{1}{2}at[/math]

Legge oraria del moto uniformemente accelerato

Dalle uguaglianze ottenute è possibile ricavare l'equazione che descrive, nel modo più generale, com’è varia la posizione in funzione del tempo, cioè la legge oraria. L’equazione del moto lega tra loro tutte le grandezze cinematiche che lo caratterizzano:

• lo spostamento
  [math]x – x_0[/math]
• la velocità iniziale
  [math]v_0[/math]
• l'accelerazione
  [math]a[/math]
• il tempo
  [math]t[/math]

NOTA
Le equazioni che descrivono il moto uniformemente accelerato si possono ricavare, allo stesso modo, a partire dalle definizioni di accelerazione e velocità come integrali di velocità e spostamento.

Caduta dei gravi, e accelerazione di gravità g

Tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre sono soggetti alla gravità.
Lasciata cadere da una certa altezza, raggiunge più rapidamente il suolo una piuma o una pietra?
Attraverso l’aria, la piuma cade lentamente, svolazzando e descrivendo una traiettoria complessa, mentre la pietra scende verticalmente con un moto molto più rapido. Sulla base di questa semplice osservazione siamo portati a credere che la gravità terrestre agisca più efficacemente su un oggetto pesante che su un oggetto leggero e usiamo solitamente il termine “grave” per indicare qualcosa di pesante.
In realtà la piuma merita quanto la pietra, di essere considerato grave, perché, se lasciata cadere in un tubo a vuoto raggiunge il fondo nello stesso istante della pietra. Al tempo di Galilei non c’era la possibilità di produrre il vuoto, e arrivare a questa scoperta richiedeva immaginazione e metodo. Ricordiamo che si deve proprio allo scienziato italiano il protocollo del metodo scientifico sperimentale.
La caduta verticale di un corpo nel vuoto, causata dall’attrazione gravitazionale, è un moto uniformemente accelerato con accelerazione di gravità

diretta verticalmente verso il basso. Se la resistenza dell’aria è trascurabile tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre cadono con la stessa accelerazione

Per ulteriori approfondimenti sul metodo scientifico vedi qua

Caduta libera e lancio verso l’alto

Il moto di caduta libera (o l'ascesa) dei corpi in prossimità della superficie terrestre costituisce dunque, un caso particolare di moto uniformemente accelerato, quando è possibile ignorare l'azione di resistenza dell'aria.

• Questo tipo di moto è convenzionalmente descritto attraverso un sistema di riferimento costituito dal solo asse
  [math]y[/math]
  , opportunamente orientato.
• La variabile corrispondente all'accelerazione (
  [math]a[/math]
  ) è sostituita dal suo valore (costante) in prossimità della superficie terrestre (accelerazione di gravità):

Il moto di un corpo lasciato cadere da fermo può essere descritto rispetto ad un asse orientato verso il basso, con origine O nel punto in cui il corpo è lasciato andare nell’istante

.
Le equazioni del moto sono:

• [math]v=gt[/math]
• [math]x\frac{1}{2} gt^2[/math]

Durante la caduta, un corpo assume una velocità che aumenta di 9,81 m/s ogni secondo. La sua distanza x dalla posizione di partenza aumenta in modo proporzionale al quadrato del tempo.

Lancio verso l’alto
Se il corpo è lanciato verticalmente verso l’alto la sua velocità iniziale non è nulla ma è proprio la velocità di lancio, in questo caso si conviene di fissare il riferimento verticale con verso positivo diretto in alto e quindi l’origine O si trova in basso nel punto di lancio. Le equazioni del moto di un oggetto lanciato verso l’alto sono le seguenti:

• [math]v=v_0-gt[/math]
• [math]x=v_0t-\frac{1}{2} gt^2[/math]

Rispetto all’origine la velocità scalare iniziale è positiva, mentre l’accelerazione g è sempre diretta verso il basso e quindi negativa nel riferimento scelto.
Dopo il lancio durante la salita la velocità del corpo diminuisce ogni secondo di 9,81 m/s fino ad annullarsi in corrispondenza del punto di massima quota. A questa altezza il corpo inverte la direzione del moto e inizia la fase di caduta riacquistando velocità sempre al ritmo di 9,81 m/s per secondo.
Il lancio di un corpo verso l’alto nella fase di discesa è analogo a quello della caduta libera perché il corpo, dalla massima altezza ricade al suolo partendo da fermo.
Il moto del proiettile è un moto composto detto anche moto parabolico. Si tratta di un moto composto da un moto rettilineo uniforme nella direzione

e un moto uniformemente accelerato nella direzione

.
NOTA
La caduta dei corpi in prossimità della superficie terrestre non è influenzata dalle caratteristiche degli oggetti (come massa, forma o densità.

Per ulteriori approfondimenti sul moto parabolico vedi qua