Concetti Chiave
- Il moto parabolico, noto anche come moto del proiettile, si svolge simultaneamente in due direzioni: orizzontale e verticale, creando una traiettoria parabolica.
- Il proiettile, una volta sparato, è soggetto alla forza di gravità e segue un moto di caduta libera, con la velocità iniziale influenzata dalla direzione di sparo.
- In assenza di attrito dell'aria, il moto orizzontale del proiettile è rettilineo e uniforme, mentre il moto verticale è uniformemente accelerato a causa della gravità.
- Le equazioni del moto parabolico separano le componenti orizzontali e verticali, permettendo di calcolare la posizione e la traiettoria del proiettile nel piano cartesiano.
- La gittata orizzontale del proiettile, massima a un angolo di lancio di 45°, è determinata dalla velocità iniziale e dall'angolo di sparo rispetto all'asse orizzontale.
In questo appunto di Fisica tratteremo del moto parabolico, introducendo le formule delle leggi orarie che governano tale moto e dando una definizione di gittata e traiettoria.
Il moto parabolico, meglio noto come Moto del Proiettile è un particolare tipo di moto che, al contrario del moto uniformemente accelerato o del moto rettilineo uniforme, avviene contemporaneamente lungo due direzioni. In particolare, questo tipo di moto si verifica ogni qualvolta il corpo, o punto materiale, si trova in caduta libera e presenta contemporaneamente una velocità non nulla nella direzione perpendicolare alla direzione di caduta.
Inoltre, il moto viene detto parabolico perché durante questa caduta libera il corpo segue una traiettoria parabolica. In generale, si definisce traiettoria il luogo geometrico dato dall’insieme complessivo delle posizioni (o punti rispetto a un determinato sistema di riferimento) occupate dal punto materiale nel corso del suo moto.
Indice
Moto di un proiettile
Dopo questa breve introduzione, entriamo nel dettaglio e cerchiamo di capire meglio quanto detto.
Quando parliamo del moto di un proiettile quindi, possiamo facilmente intuire che il proiettile non è altro che il corpo, o punto materiale, che descrive questo arco di parabola durante il suo moto. Nel momento dello sparo, infatti, sul proiettile viene applicata una forza tale che quando esce dalla canna del fucile, possiede una velocità iniziale
avente direzione coincidente con la direzione della canna-fucile. Dopo lo sparo, inoltre, il proiettile sarà soggetto anche alla forza di gravità e quindi si troverà in un moto di caduta libera per effetto dell'accelerazione di gravità
, rivolta sempre verso il basso.
In generale, per semplificare questo tipo di problema, nella trattazione fisica-matematica si trascurano le forze di attrito dovute alla presenza dell’aria che, nella realtà, rallentano il moto del proiettile. Ad ogni modo, questo tipo di approssimazione (molto frequente nei problemi di Fisica) ci permette di comprendere meglio le dinamiche del fenomeno fisico in questione per poi, eventualmente, adattarlo alle condizioni più generali e realistiche.
Nel prossimo paragrafo vedremo nel dettaglio i due tipi di moto a cui è soggetto il proiettile durante il moto.
Moto del proiettile in due direzioni: orizzontale e verticale
Come detto precedentemente, il moto dei proiettili si sviluppa lungo due direzioni indipendenti l'una dall'altra ma, correlate alle componenti del vettore velocità iniziale
. Introdotto un sistema di riferimento cartesiano, possiamo dire che il vettore velocità iniziale
è orientato secondo un angolo
rispetto all’asse delle ascisse; in particolare, questo angolo viene chiamato alzo.
A questo punto possiamo scrivere le componenti del vettore velocità lungo la direzione x e lungo la direzione y.
N.B. per ottenere le due componenti del vettore velocità abbiamo semplicemente utilizzato le formule di trigonometria.
Ad ogni modo, il moto orizzontale è caratterizzato da una velocità
costante in quanto l'accelerazione è nulla. Di fatti, se scriviamo la legge oraria lungo la direzione orizzontale, avremo che:
Ma, essendo
, la legge diventa:
Quindi, lungo la direzione orizzontale il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante e pari, in qualsiasi istante, alla componente orizzontale della velocità iniziale (
).
Viceversa, il moto verticale è caratterizzato dalla presenza dell’accelerazione di gravità
, perciò lungo la direzione orizzontale il proiettile si muovo di moto rettilineo uniformemente accelerato , cioè il moto di caduta libera dei corpi.
La legge oraria in questo caso è:
Inoltre, sapendo che
, allora la velocità lungo la direzione verticale sarà:
N.B. Il segno negativo nell’accelerazione di gravità è relativo al fatto che questa accelerazione è diretta nel verso opposto al nostro sistema di riferimento, dove abbiamo ipotizzato che l’asse y sia positivo e diretto verso l’alto.
Ad ogni modo, è importante sottolineare il fatto che queste due leggi orarie (quello lungo x e quella lungo y) valgono contemporaneamente, cioè il proiettile segue entrambe le leggi orarie nello stesso istante. Semplicemente la prima indica la sua posizione lungo l’asse delle ascisse, mentre la seconda lungo l’asse delle ordinate; questo perché il corpo non si muove solo lungo la direzione ma nel piano cartesiano.
Per riassumere, possiamo quindi dire che le leggi orarie del moto parabolico o del moto del proiettile sono:
Le equazioni che descrivono separatamente il moto orizzontale e il moto verticale dei proiettili possono essere quindi combinate rispetto al tempo
(in quanto unica variabile in comune nel sistema), per ottenere la funzione corrispondente alla traiettoria; normalmente la traiettoria è riferita alla posizione iniziale (
).
Allo stesso modo, è possibile ricavare la gittata orizzontale
, corrispondente allo spazio coperto dal proiettile per ritornare alla quota di lancio, cioè alla posizione iniziale lungo l’asse delle ascisse (
). In alcuni casi, la quota iniziale corrisponde con l’origine del sistema di riferimento (quindi
), ma il proiettile arriva ad una posizione finale che si trova al di sotto del sistema di riferimento (quindi
).
N.B. La gittata orizzontale
, per una stessa velocità iniziale, assume il valore massimo quando
, cioè quando l'alzo
è pari a 45° (cioè π⁄4).
Nel prossimo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento e ripasso degli argomenti trattati in questo appunto di Fisica.
Moto del proiettile: Link di approfondimento
Per ulteriori informazioni e apprendimento su quanto detto in questo appunto, si consiglia la lettura dei seguenti appunti:
moto di caduta libera
caduta libera dei corpi
moto parabolico
moto rettilineo uniforme
moto uniformemente accelerato
Domande da interrogazione
- Che cos'è il moto parabolico?
- Quali sono le componenti del vettore velocità iniziale nel moto del proiettile?
- Come si comporta il moto del proiettile lungo le direzioni orizzontale e verticale?
- Qual è la formula per calcolare la traiettoria del proiettile?
- Quando la gittata orizzontale [math]R[/math] raggiunge il suo valore massimo?
Il moto parabolico, noto anche come moto del proiettile, è un tipo di moto che avviene lungo due direzioni simultaneamente, caratterizzato da una traiettoria parabolica durante la caduta libera di un corpo con una velocità iniziale non nulla perpendicolare alla direzione di caduta.
Le componenti del vettore velocità iniziale sono [math]v_{0,x} = v_0 \cos{ θ_0}[/math] lungo la direzione orizzontale e [math]v_{0,y} = v_0 \sin{ θ_0}[/math] lungo la direzione verticale, dove [math]θ_0[/math] è l'angolo di alzo rispetto all'asse delle ascisse.
Lungo la direzione orizzontale, il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante [math]v_x = v_{0,x}[/math]. Lungo la direzione verticale, il proiettile si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato a causa dell'accelerazione di gravità [math]g[/math].
La traiettoria del proiettile è descritta dalla funzione [math]y = \tan(θ_0)\cdot x - \frac{g x^2}{2 [v_0 \cos{(θ_0)}]^2}[/math], che combina le equazioni del moto orizzontale e verticale rispetto al tempo [math]t[/math].
La gittata orizzontale [math]R[/math] raggiunge il suo valore massimo quando l'angolo di alzo [math]θ_0[/math] è pari a 45° (o π⁄4), poiché in questo caso [math]\sin{(2θ_0)} = 1[/math].
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