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Moto dei proiettili

Si definiscono proiettili i corpi in moto secondo una traiettoria parabolica, dotati di una velocità iniziale

[math]\textbf{v}_0[/math]
, di un'accelerazione orizzontale nulla e in caduta libera per effetto dell'accelerazione di gravità
[math]\textbf{g}[/math]
, rivolta verso il basso.


Moto orizzontale e moto verticale

Il moto dei proiettili si sviluppa in due dimensioni indipendenti l'una dall'altra e determinate dalle componenti del vettore velocità iniziale

[math]\textbf{v}_0[/math]
, orientato secondo un angolo
[math]θ_0[/math]
chiamato alzo.


[math]\textbf{v}_0 = v_{0,x}\ \textbf{i} + v_{0,y}\ \textbf{j}[/math]

perciò

[math]v_{0,x} = v_0 \cos θ_0,\qquad v_{0,y} = v_0 \sin θ_0[/math]

  • Il moto orizzontale è caratterizzato da un'accelerazione nulla, perciò la velocità orizzontale
    [math]v_x[/math]
    è costante e pari, in qualsiasi istante, alla componente orizzontale della velocità iniziale (
    [math]v_x = v_{0,x}[/math]
    ).
  • Se

    [math] x – x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2[/math]

    allora

    [math]x – x_0 = v_{0,x} t + \frac{1}{2} (0) t^2 = v_{0,x} t = v_0 \cos(θ_0)\cdot t[/math]

  • Il moto verticale è caratterizzato dall'accelerazione di gravità
    [math]\textbf{g}[/math]
    , perciò corrisponde al moto (uniformemente accelerato) dei corpi in caduta libera.

Se

[math]x – x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2[/math]

allora

[math]y – y_0 = v_{0,y} t + \frac{1}{2} (-g) t^2 = v_0 \sin(θ_0)\cdot t - \frac{1}{2} g t^2[/math]

Inoltre da

[math]v = v_0 + a t [/math]

segue

[math]v_y = v_{0,y} + (-g) t = v_0 \sin(θ_0) - gt[/math]

Traiettoria e gittata orizzontale

Le equazioni che descrivono separatamente il moto orizzontale e il moto verticale dei proiettili possono essere combinate, rispetto al tempo

[math]t[/math]
, per ottenere la funzione corrispondente alla traiettoria (normalmente riferita alla posizione iniziale
[math]x_0 = 0, y_0 = 0[/math]
).

[math]y = \tan(θ_0)\cdot x - \frac{g x^2}{2 [v_0 \cos{(θ_0)}]^2}[/math]

Allo stesso modo, è possibile ricavare la gittata orizzontale

[math]R[/math]
, corrispondente allo spazio coperto dai proiettili per ritornare alla quota di lancio (
[math]y_0[/math]
).


[math]R = \frac{2v_0^2}{g} \sin{(θ_0)} \cos{(θ_0)} = \frac{v_0}{g} \sin{(2θ_0)}[/math]

NOTA - La gittata orizzontale

[math]R[/math]
, per una stessa velocità iniziale, assume il valore massimo quando
[math]\sin{(2θ_0)} = 1[/math]
, cioè quando l'alzo
[math]θ_0[/math]
è pari a 45° (cioè π⁄4).

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