Concetti Chiave
- Il momento torcente di una forza è una grandezza vettoriale fondamentale per descrivere la rotazione di un corpo rigido, oltre alla sua traslazione.
- Il modulo del momento torcente è calcolato come il prodotto del braccio della forza e l'intensità della forza stessa, influenzato dall'angolo tra forza e direzione.
- La direzione del momento è perpendicolare al piano formato dal vettore posizione e dalla forza, e il verso è determinato dalla regola della mano destra.
- Nella statica, l'equilibrio alla rotazione di un corpo rigido richiede che il momento risultante delle forze sia nullo.
- Nella dinamica, il momento risultante diverso da zero implica che il corpo rigido è soggetto a rotazione.
In questo appunto di Fisica si tratta la grandezza vettoriale chiamata momento torcente di una forza o semplicemente momento e se ne descrivono modulo, direzione e verso spiegando inoltre la regola del momento.
Indice
Il momento di una forza
Il corpo rigido, in Fisica, si distingue dal punto materiale per il fatto che le sue dimensioni non sono trascurabili.
Mentre per un punto materiale (o per un corpo assimilabile ad esso) è sufficiente conoscere la risultante delle forze agenti sullo stesso per determinarne le caratteristiche del moto o dell’equilibrio, per un corpo rigido è necessario conoscere anche un’altra grandezza vettoriale che ne quantifica l’eventuale rotazione (oltre alla traslazione), sia nel caso in cui il corpo è in moto, sia nel caso in cui sia fermo.
Tale grandezza vettoriale prende il nome di momento torcente di una forza o semplicemente momento.
Sia dato un corpo rigido qualunque e supponiamo che lo stesso corpo sia soggetto ad n forze,
F_1
[/math]
,
F_2
[/math]
,
F_3
[/math]
, …,
Fn
[/math]
, e per ciascuna di tali forze sia definito il punto di applicazione
P_1
[/math]
,
P_2
[/math]
,
P_3
[/math]
, …,
P_n.
[/math]
Si fissi un punto O arbitrariamente che può appartenere o meno al corpo e coincidere o meno con un punto di applicazione delle n forze cui lo stesso corpo è soggetto,
F_1
[/math]
,
F_2
[/math]
,
F_3
[/math]
, …,
Fn.
[/math]
Tale punto viene chiamato centro di riduzione o polo.
Definiremo momento dell’i-esima forza,
F_i
[/math]
il vettore:
\overrightarrow{M_i} = \overrightarrow{(P_i – O)} \land \overrightarrow{F_i}
[/math]
dove
P_i
[/math]
è il punto di applicazione della forza
F_i
[/math]
;
O è il centro di riduzione;
(P_i – O)
[/math]
è il vettore che ha per modulo la lunghezza del segmento
P_iO
[/math]
, per direzione la retta che contiene tale segmento e il verso è da O verso
P_i
[/math]
;
F_i
[/math]
è la i-esima forza avente
P_i
[/math]
come punto di applicazione.
Poiché il momento
\overrightarrow{M_i}
[/math]
è il risultato del prodotto vettoriale fra i vettori
\overrightarrow{(P_i – O)}
[/math]
e
\overrightarrow{F_i}
[/math]
è anch’esso un vettore, quindi definiamone le caratteristiche vettoriali.
Il modulo di
\overrightarrow{M_i}
[/math]
è dato da
M_i = (P_iO) \cdot (F_i) \cdot (sen\alpha)
[/math]
dove
\alpha
[/math]
è l’angolo compreso fra la direzione del vettore
\overrightarrow{(P_i – O)}
[/math]
e la direzione della forza
\overrightarrow{F_i}.
[/math]
Il modulo del momento torcente, riferito alla i-esima forza, lo si può scrivere anche come:
M_i = b_{F_i} \cdot F_i
[/math]
dove
b_{F_i} = P_iO \cdot sen\alpha
[/math]
è il braccio della forza
F_i
[/math]
F_i
[/math]
, di cui si vuole calcolare il momento.
Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura del momento di una forza è
N \cdot m
[/math]
(newton per metri).
La direzione di
\overrightarrow{M_i}
[/math]
è sempre perpendicolare al piano individuato dai vettori
\overrightarrow{(P_i – O)}
[/math]
e
\overrightarrow{F_i}.
[/math]
Mentre per determinarne il verso si può fare uso della regola della mano destra o della regola del momento che ci permette di stabilire se la rotazione dovuta ad una data forza fa ruotare il corpo in senso orario oppure antiorario.
E’ importante conoscere il verso di un dato momento, poiché sia nella statica dei corpi rigidi che nella dinamica degli stessi, si deve calcolare il momento risultante delle forze agente sul corpo stesso.
Tale momento risultante si ottiene dalla somma vettoriale dei singoli momenti generati dalle singole forze. Se consideriamo il caso in cui il corpo rigido studiato è soggetto ad un sistema piano di forze (ossia n forze tutte giacenti nello stesso piano), a maggior ragione, ciascun momento di ciascuna forza può avere o verso orario o verso antiorario: ossia ogni forza agente sul corpo rigido imprime una rotazione al corpo stesso che può essere oraria oppure antioraria.
Quindi il modulo del momento risultante si ottiene dalla somma algebrica dei momenti generati da ogni singola forza,
F_i.
[/math]
Regola del momento
Al fine di calcolare il verso del momento torcente di una forza, si definisce, per convezione, positivo quel momento che imprime al corpo una rotazione antioraria. Mentre tutti quei momenti che imprimono una rotazione oraria vengono assunti negativi.
Per stabilire se la rotazione del momento è oraria o antioraria il metodo è molto semplice.
Supponiamo di avere un corpo rigido su cui agisce una forza
\overrightarrow{F}.
[/math]
Fissiamo come centro di riduzione un suo punto O, scelto in modo tale che non sia sulla retta che contiene la direzione di
\overrightarrow{F}
[/math]
(poiché in questo caso il momento sarebbe nullo).
Indipendentemente dalle condizioni del sistema, supponiamo che il centro di riduzione sia fisso e colleghiamolo tramite il suo braccio alla retta che contiene la direzione di
\overrightarrow{F}.
[/math]
Così facendo, riferendosi al verso della forza
\overrightarrow{F}
[/math]
si può capire se questa tende a ruotare in senso orario o antiorario.
Ripetendo questo procedimento, per ogni singola forza agente sul corpo (nel caso comune si abbiano più forze e queste costituiscano un sistema piano di forze), si può stabilire il verso di ogni momento associato ad ogni forza che lo genera e quindi procedere in seguito alla somma algebrica degli stessi.
Se il sistema di forze agenti sul corpo rigido non è piano, al fine di trovare il momento risultante, si devono suddividere tutte le forze agenti in forze appartenenti a piani e per ciascun piano calcolare il momento risultante. Una volta trovato il momento risultante per ciascun piano di forze, si sommano vettorialmente scomponendoli in componenti lungo gli assi di un sistema di riferimento ortogonale fissato in precedenza.
Statica del corpo rigido
Nell’ambito della statica il momento di una forza assume una rilevante importanza poiché stabilisce l’equilibrio alla rotazione di un corpo.
Le equazioni cardinali della statica ci dicono che:
\overrightarrow{R_e} = 0
[/math]
\overrightarrow{M_e} = 0.
[/math]
ossia che la risultante delle forze esterne agenti su di un corpo rigido,
\overrightarrow{R_e}
[/math]
, deve essere nulla; inoltre deve essere nullo il momento risultante di tali forze esterne,
\overrightarrow{M_e}
[/math]
, che è la somma vettoriale dei momenti di ogni singola forza che sollecita il corpo rigido.
Il fatto che il momento risultante sia nullo implica che non vi sono rotazioni (equilibrio alla rotazione). Si tenga ben presente che nel caso in cui fosse nulla la risultante delle forze esterne, ciò non implica che sia nullo anche il momento totale del sistema di forze.
Dinamica del corpo rigido
Le equazioni cardinali della dinamica affermano che:
\overrightarrow{\dot{Q}} = \overrightarrow{R_e}
[/math]
\overrightarrow{\dot{K}} = \overrightarrow{M_e} - \overrightarrow{v_0} \land \overrightarrow{Q}
[/math]
dove
\overrightarrow{Q}
[/math]
è la quantità di moto del sistema e
\overrightarrow{\dot{Q}}
[/math]
la sua derivata; mentre
\overrightarrow{K}
[/math]
è il momento angolare del sistema e
\overrightarrow{\dot{K}}
[/math]
la sua derivata e
\overrightarrow{v_0}
[/math]
è la velocità del suo centro di riduzione (nel caso in cui non si sia potuto adottare un punto fisso).
Dalla seconda equazione cardinale della dinamica si può dedurre che se il momento risultante
\overrightarrow{M_e}
[/math]
è diverso da zero, il corpo ruota.
per ulteriori approfondimenti sul momento di una forza vedi anche qui
Domande da interrogazione
- Che cos'è il momento torcente di una forza?
- Come si determina il modulo del momento di una forza?
- Qual è la regola del momento per determinare il verso del momento torcente?
- Qual è l'importanza del momento di una forza nella statica del corpo rigido?
- Cosa affermano le equazioni cardinali della dinamica riguardo al momento di una forza?
Il momento torcente di una forza, o semplicemente momento, è una grandezza vettoriale che quantifica l'eventuale rotazione di un corpo rigido, oltre alla traslazione, ed è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza applicata.
Il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto del modulo del vettore posizione, il modulo della forza e il seno dell'angolo compreso tra di essi, espresso come \( M_i = (P_iO) \cdot (F_i) \cdot (sen\alpha) \).
La regola del momento stabilisce che un momento che imprime una rotazione antioraria è positivo, mentre uno che imprime una rotazione oraria è negativo. Si utilizza la regola della mano destra per determinare il verso.
Nella statica del corpo rigido, il momento di una forza è cruciale per stabilire l'equilibrio alla rotazione di un corpo. Le equazioni cardinali della statica richiedono che la risultante delle forze e il momento risultante siano nulli per garantire l'equilibrio.
Le equazioni cardinali della dinamica affermano che se il momento risultante delle forze esterne è diverso da zero, il corpo rigido ruota. Questo è espresso nella seconda equazione cardinale della dinamica, che collega il momento angolare e la quantità di moto del sistema.
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