Quantità di moto - Legge di conservazione ed urti

In questo appunto di Fisica tratteremo la grandezza vettoriale quantità di moto, l’impulso di una forza e come queste due grandezze sono legate fra loro. Tali concetti saranno applicati allo studio di alcuni fenomeni fisici chiamati urti.

Quantità di moto

La grandezza fisica quantità di moto, che indicheremo con p, è una grandezza vettoriale definita come il prodotto della massa di un punto materiale per la sua velocità:

Tale quantità è un vettore il cui modulo è dato dalla massa del punto materiale moltiplicata per il modulo della sua velocità ed avente stessa direzione e stesso verso di questa;
Nel Sistema Internazionale la quantità di moto si misura in kg m s^-1, unità di misura ricavata dall’equazione dimensionale di tale grandezza:

= [m l t^-1].
Tale grandezza mette in relazione la massa di un punto materiale o di un corpo rigido con la velocità che questo possiede.
Si noti che se l’oggetto del nostro studio è un sistema formato da più masse puntiformi, la quantità di moto totale si ottiene dalla somma vettoriale delle quantità di moto delle singole particelle che formano il sistema.

Impulso

L’impulso è una grandezza vettoriale che lega la forza agente su di un punto materiale con la sua quantità di moto.
Per ricavare la sua espressione analitica partiamo dal Secondo Principio della Dinamica, il quale afferma che un punto sul quale agisce una forza F, si muove con una accelerazione proporzionale alla stessa forza:
F = ma
Sappiamo inoltre che l’accelerazione si può esprimere come la variazione della velocità nel tempo:
a = Δv/Δt
quindi possiamo riscrivere il Secondo Principio della Dinamica come segue

alla quantità a primo membro si dà il nome di impulso, I:

Il modulo di tale vettore si ottiene dal prodotto della forza agente F, sul punto materiale, per l’intervallo di tempo Δt, durante il quale tale forza agisce.
Direzione e verso coincidono con quello della forza F.
Nel Sistema Internazionale l’impulso ha la seguente unità di misura:
N s = Kg m/s
Si può notare che è la stessa che abbiamo per la quantità di moto, questo significa che impulso e quantità di moto sono grandezze omogenee, per cui possiamo scrivere la seguente relazione:

Tale relazione prende il nome di Teorema dell’impulso, il cui enunciato è il seguente:
l’impulso di una forza che agisce su un punto materiale o su di un corpo rigido è uguale alla variazione della quantità di moto del punto materiale o del corpo stesso.
In base alle definizioni precedentemente date, la seconda legge della dinamica può essere reinterpretata come segue:

Ossia la forza agente su un punto materiale o su di un corpo rigido è uguale alla variazione della quantità di moto subita.

Sistema isolato

Un sistema costituito da n corpi o n punti materiali viene definito isolato quando è nulla o trascurabile qualunque forma di interazione con corpi o punti materiali, non facenti parte del sistema stesso.

In altre parole si chiama sistema isolato, quando non agiscono forze esterne su di esso o la loro risultante è nulla.
Si precisa che viene definita forza esterna, qualunque forza agente su un elemento del sistema considerato (punto materiale o corpo) esercitata da un elemento non facente parte del sistema stesso. Al contrario verranno definite come forze interne al sistema tutte quelle forze che si esercitano fra gli elementi facenti parte del sistema considerato.

Legge di conservazione della quantità di moto

La legge di conservazione della quantità asserisce quanto segue:
Sia dato un sistema isolato, la sua quantità di moto rimane costante nel tempo
Tale risultato può essere provato con una semplice esperienza.
Si considerino due punti materiali, A e B, di masse diverse, posti nel vuoto.
Fra questi due punti esiste una forza attrattiva (forza gravitazionale):
chiameremo F_{AB} la forza che A esercita su B e F_{BA} la forza che B esercita su A.
Tale sistema può essere considerato isolato, poiché sulle due masse non agiscono altre forze.
Consideriamo due istanti di tempo, t e t’, tali che t’ –t = Δt e calcoliamo la quantità di moto per A e B in questi due istanti.

e

sono le quantità di moto all’istante t

e

sono le quantità di moto all’istante t’
Le rispettive variazioni sono date da

Essendo

ossia

si ottiene che

Essendo per il principio di azione e reazione

Quindi

da cui

ossia

da cui si ricava

La precedente relazione ci dice che la quantità di moto totale calcolata per i punti A e B in due istanti diversi rimane costante, nell’ipotesi che il sistema studiato sia un sistema isolato.

Urti

Un urto è un fenomeno fisico durante il quale due o più punti materiali (o corpi rigidi), inizialmente separati, collidono e la velocità vettoriale di ciascuno varia sensibilmente in un intervallo di tempo piccolissimo, generando così accelerazioni notevoli e conseguentemente forze.
Tale fenomeno fisico può manifestarsi sia a livello macroscopico che a livello atomico e riguardare interazioni fra particelle elementari o decadimenti radioattivi.
Nello studio di questi fenomeni supporremo che i punti materiali (o corpi rigidi) che sono interessati in un urto costituiscano un sistema isolato, poiché considereremo nulle tutte le forze esterne.
Conseguenza della legge di conservazione della quantità di moto è che in ogni urto si conserva la quantità di moto.
Un’altra grandezza che entra in gioco nello studio degli urti è l’energia cinetica, la quale viene utilizzata per la classificazione degli stessi in due grandi categorie:

• urti elastici
• urti anelastici
• urti totalmente anelastici

Gli urti elastici sono quelli in cui si conserva l’energia cinetica del sistema e l’energia interna non varia.
Gli urti anelastici sono quelli in cui non si conserva l’energia cinetica, parte della quale muta in energia interna dei corpi.
Gli urti totalmente anelastici sono quelli in cui i corpi dopo l’urto restano uniti, o si separano definitivamente o vengono creati nuovi corpi.
Si evidenzia che l'energia totale del sistema è sempre conservata in ogni tipo di urto: l'energia cinetica delle particelle apparentemente perduta negli urti anelastici si trasforma in energia interna, o calore.
A livello macroscopico gli urti sono generalmente anelastici, per esempio quando due palle da biliardo si urtano, parte dell'energia cinetica va in energia interna delle palle, che ne aumenteranno la temperatura.
A livello microscopico esistono sia urti elastici che urti anelastici, che urti completamente anelastici, per esempio:
urto elastico tra elettrone libero e fotone (chiamato diffusione Compton);
urto anelastico tra una particella e un nucleo atomico, il nucleo va in uno stato eccitato;
urto completamente anelastico tra un fotone e un atomo: l'atomo si eccita assorbendo il fotone;
urto completamente anelastico tra un neutrone e un nucleo atomico: il neutrone può essere assorbito dal nucleo, e nello stato finale ci sarà un nucleo con numero di massa aumentato di una unità (e eventualmente un fotone per conservare l'energia totale).
Lo studio cinematico di un problema d'urto perfettamente elastico si effettua imponendo le due condizioni esposte sopra:
la quantità di moto totale del sistema prima e dopo l'urto rimanga costante;
l'energia cinetica del sistema prima e dopo l'urto sia conservata.
Poiché la quantità di moto è un vettore, la richiesta di conservare la quantità di moto totale, si traduce in un sistema di 3 equazioni:

• un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse x;
• un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse y;
• un'equazione per la quantità di moto lungo l'asse z;

cui si andrà ad aggiungere l’equazione di conservazione dell’energia cinetica, per un totale di quattro relazioni indipendenti.
Ovviamente, se il moto avviene su di un piano o su di una retta (due dimensioni o una dimensione), il numero di equazioni effettive da risolvere diminuisce.

Lo studio cinematico di un problema di urto anelastico o perfettamente anelastico comporta la sola conservazione della quantità di moto.
La risoluzione delle equazioni che per un urto rappresentano la conservazione della quantità di moto e dell’energia, ci fa trovare le grandezze che caratterizzano il fenomeno in base ai dati forniti dal problema (masse e velocità).
Quando le velocità in gioco in un urto sono vicine a quelle della luce (circa

m/s), la dinamica Newtoniana non è più valida, e serve la relatività ristretta.
La legge di conservazione della quantità di moto è però ancora valida in relatività ristretta, se si utilizza come quantità di moto:

dove

, con c velocità della luce nel vuoto (

).
Si nota che per velocità piccole rispetto a quelle della luce (quindi in meccanica Newtoniana), il termine \gamma si riduce in prima approssimazione ad 1, e la quantità di moto torna quindi ad essere bene approssimata da mv.
Infine se nell’urto che si sta studiando sono coinvolti corpi rigidi non assimilabili a punti materiali, si può dimostrare che la quantità di moto ha la seguente espressione

dove M è la massa totale del corpo, e

la velocità del centro di massa del corpo.
L’interpretazione di tale formula ci dice che la quantità di moto per un corpo rigido non è quella che avrebbe un punto con avente la massa del corpo rigido e posto nel centro di massa del corpo.

Per ulteriori approfondimenti sulla quantità di moto vedi anche qua