In questo appunto viene descritto il concetto di derivata di una funzione, le regole principali di derivazione e le derivate delle funzioni fondamentali attraverso anche esempi numerici.
Introduzione
Il calcolo delle derivate è una parte fondamentale dell'analisi che viene introdotta per lo studio di funzioni ma che ha innumerevoli applicazioni in campo scientifico. La derivata di una funzione permette di individuare se la funzione generica possiede dei punti critici, ovvero punti di massimo o di minimo.
Per poter arrivare al calcolo delle derivate di qualsiasi funzione è necessario andare ad introdurre il concetto del rapporto incrementale.
Data una funzione
e un valore
, è possibile andare a definire il concetto di rapporto incrementale di una funzione nel punto
come la seguente entità matematica:
.
Il rapporto incrementale e definizione di derivata
Il rapporto incrementale è definito matematicamente come segue.
Sia data una funzione
e si voglia calcolare la retta tangente in un punto
della funzione stessa.
Non avendo alcuna informazione per individuare la retta, si può andare a sfruttare l'equazione del fascio di rette centrato nel punto della funzione di coordinate
e il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in tale punto.
Tuttavia, il coefficiente angolare di questa retta non si conosce. Il problema sta proprio nel determinare questo coefficiente angolare.
Per far ciò basta considerare il coefficiente angolare della retta passante per il punto P e il punto Q ottenuto incrementando per una quantità h.
Il coefficiente angolare di una retta viene generalmente individuato dalla seguente relazione:
Se andiamo ad estendere la definizione alla funzione incrementata di h, si ottiene:
Questo rapporto prende il nome di rapporto incrementale.
Il coefficiente angolare della retta tangente a P si può ottenere andando a calcolare il limite del rapporto incrementale:
Questo limite viene definito come Derivata della funzione nel punto
.
La derivata di una funzione
nel punto
, denotata con
o
o
, è il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a zero, ovvero viene espressa secondo la seguente notazione:
Brevemente, la derivata può anche essere espressa come segue:
Questa terminologia matematica si legge come "la derivata della funzione rispetto a x.
Significato geometrico di derivata
Avendo definito il rapporto incrementale come segue e la derivata, possiamo ora andare a comprendere a livello geometrico che cosa significano. Dal punto di vista geometrico, stiamo dividendo la differenza tra i valori della f in due punti, per la differenza dei punti stessi; detti quindi:
Il passaggio matematico effettuato prevede semplicemente di andare a dividere le due lunghezze evidenziate nella figura
Ciò significa che stiamo andando ad individuare il coefficiente angolare della retta tangente al punto
, che abbiamo visto essere la derivata. Ricordando che il coefficiente angolare di una retta non è altro che la tangente dell'angolo di inclinazione della retta, si ottiene che la derivata non è altro che la tangente di questo angolo:
Derivata destra e sinistra
La derivata a livello matematico non è altro che un limite. ricordando che un limite di una funzione può essere espresso come limite destro o limite sinistro della funzione, allora in modo intuitivo possiamo definire la derivata destra e la derivata sinistra nel punto della funzione come segue:
La derivata di una funzione in un punto, quando esiste, è un valore numerico e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto.
Si specifica quando esiste, in quando se la derivata destra (limite destro) è differente dalla derivata sinistra (limite sinistro) allora la derivata in questo caso non esiste.
Derivata fondamentali
La derivata, però, può essere vista come una vera e propria funzione, basta calcolare il limite con la
generica al posto del valore
. In realtà, a patto che la funzione sia derivabile, ci sono delle regole che ci consentono di determinare la derivata velocemente, senza ogni volta dover calcolare il limite del rapporto incrementale.
Il calcolo delle derivate di una funzione può essere complesso. Ogni derivazione deve comunque seguire le seguenti regole della somma e differenza, del prodotto, del quoziente, della composta e del prodotto con una costante.
Si considerino due funzioni
e
:
- Derivata di una somma di funzioni:[math]D[g(x)+f(x)]=D[f(x)]+D[g(x)][/math]
- Derivata di una differenza:[math]D[g(x)−f(x)]=D[f(x)]−D[g(x)][/math]
- Derivata di una composta:[math]D[f(g(x))]=D[f(g(x)]\cdot [g(x)][/math]
- Derivata di un prodotto con una costante:[math]D[kf(x)]=kD[f(x)][/math]
- Derivata di un prodotto:[math]D_x(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/math]
- Derivata del quoziente: [math]D_x(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}[/math]
- Derivata funzione inversa:[math]D_x(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/math]
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Derivate delle funzioni fondamentali
Di seguito riportiamo le derivate delle funzioni fondamentali.
\hline funzione & derivata\\
\hline k & 0\\
\hline x^{\alpha} & \alpha \ x^{\alpha-1} \\
\hline log_a(x) & \frac{1}{x}log_a(e) \\
\hline a^{x} & a^x ln(a) \\
\hline e^{x} & e^x \\
\hline sin(x) & cos(x) \\
\hline cos(x) & -sin(x) \\
\hline tg(x) & \frac{1}{cos^2(x)} \\
\hline cotg(x) & -\frac{1}{sin^2(x)}\\
\hline arcsin(x) & \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} \\
\hline arccos(x) & -\frac{1}{\sqrt(1-x^2)} \\
\hline arctg(x) & \frac{1}{1+x^2} \\
\hline arccotg(x) & - \frac{1}{1+x^2} \\
\end{array}[/math]
NOTA: dalla regola di derivazione della potenza possiamo dedurre anche tutte le derivate delle radici o delle frazioni, basta ricordare che:
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