[math]Derivate[/math]

Il calcolo delle derivate è una parte fondamentale dell'analisi che viene introdotta per lo studio di funzioni ma che ha innumerevoli applicazioni in campo scientifico.

Per poter arrivare al calcolo delle derivate però, dobbiamo fare un po' di passi indietro ed introdurre il rapporto incrementale.

Data una funzione f(x) e un valore h, si definisce rapporto incrementale di una f nel punto

[math]x_0[/math]
la seguente quantità :
[math]\frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/math]
.

Dal punto di vista geometrico, stiamo dividendo la differenza tra i valori della f in due punti, per la differenza dei punti stessi; detti quindi:

[math]

\Delta_y= f(x_0+h)-f(x_0)\\
\Delta_x=x_0 + h - x_0= x_0[/math]


stiamo semplicemente dividendo le due lunghezze evidenziate nella figura



La derivata di una funzione f(x) nel punto

[math]x_0[/math]
, denotata con
[math] f'(x)[/math]
o
[math]\frac{df}{dx}[/math]
o
[math]D_x(f)[/math]
, è il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a zero, cioè:<

[math]f'(x_0)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } [/math]

In modo intuitivo possiamo definire la derivata destra e sinistra nel punto come segue:

[math]f'(x_0)=\lim _{ h\rightarrow 0^+}{ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } \\
f'(x_0)=\lim _{ h\rightarrow 0^- }{ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }[/math]

La derivata di una funzione in un punto, quando esiste, è un valore numerico e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto.

La derivata, però, può essere vista come una vera e propria funzione, basta calcolare il limite con la

[math] x[/math]
generica al posto del valore
[math]x_0[/math]
.

In realtà, a patto che la funzione sia derivabile, ci sono delle regole che ci consentono di determinare la derivata velocemente, senza ogni volta dover calcolare il limite del rapporto incrementale.

Di seguito riportiamo le principali regole di derivazione.

[math]\begin{array}{c|c|c}\hline funzione & derivata\\
\hline k & 0\\
\hline x^{\alpha} & \alpha \ x^{\alpha-1} \\
\hline log_a(x) & \frac{1}{x}log_a(e) \\
\hline a^{x} & a^x ln(a) \\
\hline e^{x} & e^x \\
\hline sin(x) & cos(x) \\
\hline cos(x) & -sin(x) \\
\hline tg(x) & \frac{1}{cos^2(x)} \\
\hline cotg(x) & -\frac{1}{sin^2(x)}\\
\hline arcsin(x) & \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} \\
\hline arccos(x) & -\frac{1}{\sqrt(1-x^2)} \\
\hline arctg(x) & \frac{1}{1+x^2} \\
\hline arccotg(x) & - \frac{1}{1+x^2} \\
\end{array}[/math]


NOTA: dalla regola di derivazione della potenza possiamo dedurre anche tutte le derivate delle radici o delle frazioni, basta ricordare che:

[math]\sqrt [ n ]{ x^m } =x^{m/n} \ \ e \ \ \frac { 1 }{ x^n }=x^{-n} [/math]


Regola di derivazione del prodotto:

[math]D_x(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/math]

Regola di derivazione della frazione:

[math]D_x(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}[/math]

Regola derivazione funzioni composte:

[math]D_x(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)[/math]

Derivata funzione inversa:

[math]D_x(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/math]

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