Momento angolare: definizione vettoriale e scalare

Appunto riguardante il momento angolare, con richiami al concetto di prodotto vettoriale tra due vettori distinti. Sono presenti, oltre alle dimostrazioni delle formule, anche le relazioni con al...

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di the.track
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Concetti Chiave

  • Il momento angolare si definisce tramite il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto, influenzato dalle variazioni di raggio o velocità.
  • Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale al piano dei vettori originali, con modulo proporzionale al seno dell'angolo tra essi.
  • Nel moto circolare, il momento angolare è correlato alla velocità angolare, esprimibile come il prodotto della massa, del raggio al quadrato e della velocità angolare.
  • Il momento delle forze è un vettore definito dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza totale agendo su un punto.
  • Il teorema della conservazione del momento angolare afferma che esso rimane costante se il momento delle forze è nullo, ovvero se non ci sono forze risultanti.

Nel seguente appunto verrà introdotto il concetto di momento angolare, e la sua definizione tramite l’utilizzo del prodotto vettoriale. Ricordiamo che il vettore è un elemento di uno spazio vettoriale dotato di modulo, direzione e verso.

Momento angolare: definizione vettoriale e scalare articolo

Indice

  1. Richiami sul prodotto vettoriale
  2. Momento angolare
  3. Momento delle forze
  4. Conservazione del momento angolare

Richiami sul prodotto vettoriale

Dati due vettori
[math] \vec{u}, \vec{v} [/math]
, definiamo il prodotto vettoriale
[math] \vec{u} \times \vec{v} [/math]
come un vettore ortogonale al piano su cui giacciono i due vettori
[math] \vec{u}, \vec{v} [/math]
e con verso determinato dalla regola della mano destra, ovvero: per determinare il verso del prodotto vettoriale tra due vettori bisogna far finta che il pollice della mano destra sia il primo vettore, il pollice della mano sinistra sia il secondo vettore e poi vedere in che direzione va il dito medio.
Per quanto riguarda il modulo del prodotto vettoriale, chiamando
[math] \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} [/math]
allora avremo che
[math] | \vec{w} | = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin(\vartheta) [/math]
dove
[math]\vartheta[/math]
è l’angolo compreso tra i due vettori.

Per approfondimenti sui vettori, vedi anche qua.

Momento angolare

Definiamo momento angolare il vettore:

[math] \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} [/math]

Dove

[math] \vec{p} [/math]
è il vettore quantità di moto; pertanto possiamo scrivere il momento angolare come:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m \vec{v}[/math]

In generale in un moto curvilineo generico il vettore momento angolare è una funzione del tempo. Ciò significa che la sua variazione può dipendere da una variazione del raggio oppure da una variazione della velocità, oppure da una variazione della massa. Al momento non tratteremo quest'ultima ipotesi per semplicità. Sappiamo inoltre che il prodotto vettoriale è definito genericamente come segue, come visto nel paragrafo precedente:

[math] \vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}[/math]

e il suo modulo:

[math]w=u\cdot v \cdot sin \vartheta [/math]

ove

[math]\sin\vartheta[/math]
altro non è che l'angolo formato fra
[math]\vec{u}[/math]
e
[math]\vec{v}[/math]
.

Se noi andiamo ad analizzare quanto sopra descritto osserviamo che possiamo scrivere il modulo come:

[math]||\vec{w}||=||\vec{u}||\cdot\left(||\vec{v}||\cdot\sin\vartheta\right)[/math]
Mettendo solo le parentesi si evidenzia come l'argomento non sia altro che la componente della velocità perpendicolare al raggio. Ma allora da questo possiamo direttamente decomporre il vettore velocità secondo le compenenti lungo
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{r}^{\bot}[/math]
. Questo ci permette di scrivere il momento angolare come:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m\left(\vec{v_{\vartheta}}+\vec{v_{r}}\right)[/math]

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto vettoriale otteniamo:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m \vec{v_{\vartheta}}+\vec{r}\times m\vec{v_{r}}[/math]

ma vediamo subito che il secondo addendo è nullo, visto che i due vettori giacciono sulla stessa retta (equivalentemente si può affermare che

[math] \sin ( \vartheta ) = 0 [/math]
, pertanto possiamo dire che:

[math]\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v_{\vartheta}}[/math]

che in modulo vale:

[math]L=mrv_{\vartheta}=mr^{2}\frac{d\vartheta}{dt}[/math]

È interessante vedere il caso particolare in cui il moto sia circolare (ossia la traiettoria descrive un cerchio). In tal caso notiamo subito che il rapporto

[math]\frac{d\vartheta}{dt}[/math]
non è altro che la velocità angolare, pertanto possiamo stabilire l’uguaglianza
[math] L = mr^{2}\omega [/math]
, prendendo come polo il centro della circonferenza descritta dal corpo.

Momento delle forze

Definiamo ora la quantità vettoriale:

[math]\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}[/math]

dove

[math]F[/math]
indica la sommatoria delle forze agenti. Ovviamente questo vale se le forze sono applicate allo stesso punto.

Conservazione del momento angolare

Proviamo ora a considerare la variazione del momento angolare nel corso del tempo. In termini matematici avremo la relazione seguente (utilizzando la formula per la derivata del prodotto di una funzione, la quale dice che
[math](f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’ [/math]
.

Per approfondimenti sulle regole sulle derivate vedi anche qua

Momento angolare: definizione vettoriale e scalare articolo

[math]\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times m\vec{v}+\vec{r}\times m\frac{d\vec{v}}{dt}[/math]

Vediamo subito come il primo termine sia nullo in quanto

[math]\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}[/math]
(la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo e il prodotto tra i due vettori è nullo in quanto la retta su cui giacciono è la stessa, come nel caso precedente) e il secondo sia la forza
[math]F = ma[/math]
, moltiplicata per
[math] \vec{r} [/math]
. Questo ci mostra in modo chiaro che:

[math]\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}[/math]

e questa è l'equazione che rappresenta il teorema della conservazione del momento angolare. Come possiamo notare se la forza (risultante delle forze) è nulla allora

[math]\vec{M}=0[/math]
e questo implica che
[math]\frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \rightarrow \vec{L} = \text{costante}[/math]
. Verifichiamo inoltre che esiste un altro caso in cui il momento angolare sia costante nel tempo, ossia quando la forza applicata è parallela al raggio, in quanto
[math]M = r \cdot F \cdot \sin (\vartheta)[/math]
ed essendo
[math] \vartheta = 0+k\pi [/math]
abbiamo che
[math]M = 0[/math]
in quanto
[math] \sin( k \pi ) = 0 \forall k \in \mathbb{Z} [/math]
.
Tirando una prima conclusione avremo che: il momento angolare di un corpo (considerato come punto materiale) rimane costante se il momento delle forze è nullo.

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è il prodotto vettoriale e come si determina il suo verso?

    2. Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale al piano su cui giacciono i due vettori, con verso determinato dalla regola della mano destra.

  2. Come si definisce il momento angolare e da cosa dipende la sua variazione?

    3. Il momento angolare è definito come il vettore [math] \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} [/math], e la sua variazione può dipendere dalla variazione del raggio o della velocità.

  3. Qual è la relazione tra momento angolare e velocità angolare in un moto circolare?

    4. In un moto circolare, il momento angolare è dato da [math] L = mr^{2}\omega [/math], dove [math] \omega [/math] è la velocità angolare.

  4. Come si definisce il momento delle forze e quando è applicabile?

    5. Il momento delle forze è definito come [math] \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} [/math], ed è applicabile quando le forze sono applicate allo stesso punto.

  5. In quali condizioni il momento angolare di un corpo rimane costante?

    6. Il momento angolare rimane costante se il momento delle forze è nullo o se la forza applicata è parallela al raggio.

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