Prodotto vettoriale: definizione e proprietà

Nel seguente appunto studieremo che cos'è il prodotto vettoriale, ossia un'operazione che viene effettuata in fisica tra due vettori. Tale operazione è di importanza molto rilevante poiché molte grandezze in fisica sono proprio definite grazie al prodotto vettoriale, come il momento di una forza o il momento angolare, di cui discuteremo nei paragrafi successivi.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettorialeè un'operazione binaria tra due vettori nello spazio euclideo tridimensionale, che restituisce un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori in input.
Siano

e

due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale, dove con

L'operazione di prodotto vettoriale si indica con la notazione seguente:

Il prodotto vettoriale

(in questo ordine) restituisce il vettore

.
Per approfondimenti sui vettori, vedi anche qua.

Proprietà del prodotto vettoriale

Si dimostra che il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

• antisimmetria,
  [math]\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a[/math]
  , da questa proprietà segue che il prodotto vettoriale non è commutativo.
• proprietà distributiva, valgono le relazioni:
  
  • [math]\vec a \times (\vec b + \vec c)= (\vec a \times \vec b) + (\vec a \times \vec c)[/math]
  • [math]k(\vec a \times \vec b) = (k \vec a) \times \vec b = \vec a \times (k \vec b)[/math]
• è ortogonale ai due vettori in input:
  
  • [math]\vec a \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
  • [math]\vec b \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
• il prodotto vettoriale di un vettore con se stesso è nullo. In simboli:
  
  [math]\vec a \times \vec a = 0 [/math]

Il prodotto vettoriale di due vettori

e

Dalla definizione e dalle proprietà del prodotto vettoriale, segue che il vettore

Regola della mano destra

Abbiamo detto che la direzione del prodotto vettoriale è perpendicolare ad entrambi i vettori, ma per determinarne il verso bisogna utilizzare una regola.
Il verso del vettore

si determina infatti con la "regola della mano destra": quando

si porta su

in modo tale che le dita della mano destra diano piegandosi il senso della rotazione, allora il pollice indica il verso di

.

Modulo del prodotto vettoriale

La lunghezza (il modulo) di

ha un interessante significato geometrico; se

e

sono vettori non nulli formanti tra loro un angolo

tra

e

, si ottiene che

Infatti, se descriviamo un parallelogramma mediante due vettori

e

(con la regola del parallelogrammo), poiché

è la base del parallelogrammo e

è l'altezza del parallelogrammo determinato dai vettori, si ha che

è uguale all'area del parallelogrammo.
Analogamente, descrivendo i lati di un triangolo mediante due vettori

e

, si ha che l'area del triangolo è data da

dove

Il prodotto Vettoriale nelle equazioni della Fisica

Ci sono alcune equazioni della fisica che risultano molto comode se espresse in termini di prodotti vettoriali.

Vediamo qualche esempio:

• Momento di una forza: Il momento di una forza
  [math]\vec F[/math]
  applicata in un punto a distanza
  [math]\vec r[/math]
  rispetto a un polo è dato da
  
  [math]\vec \tau = \vec r \times \vec F[/math]
  che significa
  
  [math]\begin{cases}
  \tau_x = y F_z - z F_y \\ \tau_y = z F_x - x F_z \\ \tau_z = x F_y - y F_z
  \end{cases} [/math]
• Momento angolare: Il momento angolare di una particella con quantità di moto
  [math]\vec p [/math]
  che si trova a distanza
  [math]\vec r [/math]
  dall'origine è
  
  [math]\vec L = \vec r \times \vec p[/math]

  

  Per approfondimenti sul momento angolare, vedi anche qua.

• La forza che agisce su una particella con carica
  [math]q[/math]
  e velocità
  [math]\vec v[/math]
  , in una regione dello spazio caratterizzata dal campo elettrico
  [math]\vec E[/math]
  e campo magnetico
  [math]\vec B[/math]
  è:
  
  [math]\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]