Radianti e gradi: definizioni e regole

In questo appunto di trigonometria descriviamo la misura dell'ampiezza degli angoli. Vedremo due unità di misura angolari i gradi sessagesimali e i radianti entrambe utilizzate sia in geometria che trigonometria. Dopo una breve premessa su cosa sono gli angoli, le loro diverse classificazioni in base alla posizione e all'ampiezza, diamo le definizioni di queste unità e le formule per convertire gradi in radianti e viceversa.

Generalità sugli angoli

Come prima cosa diamo la definizione geometrica di angolo: un angolo è ciascuna delle due porzioni di piano comprese tra due semirette aventi la stessa origine.
In geometria piana l'angolo è un elemento derivato ovvero per la sua definizione è necessario utilizzare altri enti geometrici fondamentali.

Per disegnare un angolo bisogna fissare un punto del piano da questo punto bisogna tracciare due semirette in tal modo il piano rimane suddiviso in due parti ciascuna di esse è un angolo, la parte di piano racchiusa tra le due semirette e l'angolo convesso la parte di piano esterna ad esse, quella che quella che contiene il prolungamenti delle due semirette, è l'angolo concavo.
Qual è la differenza tra angolo concavo e angolo convesso?
Concavo e convesso sono due aggettivi ricorrenti nella geometria piana e si possono attribuire a tutte le figure angoli compresi. Per capire cosa voglia dire, figura concava o figura convessa, dobbiamo prendere una qualsiasi figura nel piano, poi due punti qualsiasi al suo interno, disegniamo il segmento che li unisce e osserviamo come si posiziona il segmento rispetto alla figura.
Se per ogni coppia di punti il segmento che li unisce è sempre tutto all’interno allora abbiamo una figura convessa.
Se esiste almeno una coppia di punti per i quali il segmento è in parte esterno ad essa abbiamo una figura concava.

Per ulteriori approfondimenti sugli angoli e sulle definizioni di base vedi qua

Classificazione degli angoli in base alla posizione e all’ampiezza

Possiamo denominare due angoli, in base alla loro posizione relativa,

• consecutivi: se hanno il vertice e un lato in comune e gli altri due lati si trovano su due rette distinte
• adiacenti: se i lati non comuni giacciono sulla stessa retta,
• opposti al vertice: se i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro angolo
• sovrapposti: se hanno il vertice e un lato in comune e tutti i punti di un angolo appartengono anche all’altro

Rispetto alla loro ampiezza abbiamo invece le seguenti tipologie:

• nullo: quando i suoi lati coincidono e nessuna delle due semirette ha ruotato rispetto all’altra
• giro: quando i suoi lati sono coincidenti dopo che una delle due semirette ha compiuto un giro completo rispetto all’origine
• piatto: se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro
• retto: è ciascuno dei quattro angoli congruenti che si formano quando due rette si intersecano in modo perpendicolare
• acuto: quando la sua ampiezza è minore dell'angolo retto
• ottuso: quando la sua ampiezza è maggiore dell'angolo retto ma minore dell'angolo piatto

vi sono poi ulteriori classificazioni relative alla somma di due o più angoli: complementari, supplementari, esplementari e altri angoli notevoli.

Per ulteriori approfondimenti sugli agli notevoli vedi qua

Misure di angoli

Come si misura un angolo?
L'angolo è una parte di piano, dunque una porzione di superficie misurabile.
La dimensione di un angolo è definita dalla sua ampiezza.
Ci sono due modi per misurare gli angoli mediante gradi oppure in radianti. I babilonesi, nelle loro osservazioni astronomiche, sono stati i primi ad utilizzare un sistema di misura angolare basato sul grado e i suoi sottomultipli
La misura degli angoli in gradi è detto sistema sessagesimale, perché per passare da unità all'altra si va di 60 in 60.
Il grado è definito come la 360-esima parte di un angolo giro.
I sottomultipli del grado sono due: il primo di grado e il secondo di grado.
Servono 60 primi per formare un grado.
Servono 60 secondi per formare un primo.
Il sistema sessagesimale è Il primo sistema di misura angolare che viene insegnato alle scuole elementari.
Questo sistema di misura è lo stesso che avviene per le misure di tempo quando passiamo dalle ore ai minuti ai secondi infatti abbiamo le seguenti equivalenze:

• 1 ora (h)= 60 minuti (60’)
• 1 minuto (m) = 60 secondi (60")
• il minuto è la sessantesima parte dell'ora
• [math]1'={1\over 60}h[/math]
• il secondo è la sessantesima parte del minuto
• [math]1^"={1\over 60}m[/math]

Misurare gli angoli in radianti

L’altra unità di misura degli angoli è il radiante. Questa unità di misura non ha dimensione, si dice che il radiante è una grandezza adimensionale perché è definita come il rapporto tra due lunghezze.
L’ampiezza di un angolo espressa in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza di un arco AB e la misura del raggio della circonferenza:

Diciamo che un angolo misura 1 radiante, quando questo intercetta sulla circonferenza un arco AB della stessa lunghezza del raggio.
L’equivalenza tra radiante e grado è la seguente:

Se consideriamo come arco l'intera circonferenza di raggio r, abbiamo che l'angolo giro corrisponde a

radianti, ovvero:

Si può scrivere che:

e se

, allora:

Conclusione:

Per ulteriori approfondimenti sulle misure degli angoli e degli archi vedi qua

Tabella di corrispondenza tra gradi e radianti

La seguente tabella mostra la corrispondenza tra i gradi ed i radianti per i principali angoli:

In trigonometria si utilizzano di preferenza i radianti per esprimere l'ampiezza degli angoli. L'uso di gradi sessagesimali è tuttavia molto diffuso (soprattutto in geometria elementare) per tradizione, per comodità.
Il sistema internazionale di misura prevede di adottare il radiante e non il grado.

Per il "segno" da attribuire agli angoli si utilizza poi la seguente convenzione, che si basa sull'orientamento dell'angolo: si considererà come positivo il senso antiorario (quello contrario alla lancetta dell'orologio). Un angolo negativo sarà invece quello ottenuto con una rotazione in senso orario.

Proporzioni per convertire le misure angolari

. La conversione tra le unità di misura degli angoli avviene attraverso delle semplici proporzioni.
Proporzione per convertire i gradi in radianti e viceversa
Stabiliamo una relazione di proporzionalità tra la lunghezza di un arco di circonferenza

e il corrispondente angolo al centro

:

Se è incognita la misura

in radianti, dobbiamo risolvere questa:

Se è incognita la misura

in gradi, dobbiamo risolvere questa:

Esempi di applicazione delle proporzioni

Effettuiamo delle conversioni da radianti e gradi e vicevresa.
Convertire in radianti la misura di un angolo di 50°
Cosa dobbiamo scrivere? La proporzione principale!

ora risolviamo risetto ad

:

Convertire in gradi la misura di un angolo di

Cosa dobbiamo scrivere? La proporzione principale!

ora risolviamo risetto ad

:

Per ulteriori esempi di conversioni vedi qua