Circonferenza e cerchio: elementi caratteristici

In questo appunto di geometria si parla circonferenza e sul cerchio con tutte le definizioni di base dei vari elementi come il raggio, il diametro, la corda, il settore circolare e il segmento circolare. Un cenno alle condizioni necessarie per poter individuare in maniera univoca una circonferenza nel piano e per finire teoremi e proprietà fondamentali delle corde. L’appunto può essere un valido aiuto per un ripasso generale dell’argomento.

Circonferenza e forme circolari

Nella nostra esperienza quotidiana abbiamo a che fare con tantissimi oggetti caratterizzati da determinate proprietà.

Ad esempio, se vogliamo descrivere una palla diciamo che è rotonda e, con questo termine, intendiamo che i  punti che stanno sulla superficie esterna sono tutti distribuiti uniformemente rispetto al centro.
La forma circolare è la forma più frequente sia in natura che negli oggetti prodotti dall'uomo, così come gran parte degli oggetti di uso quotidiano richiama la forma circolare: un bicchiere, una bottiglia, una pentola, un tavolo   e naturalmente la ruota, l'invenzione che ha cambiato la vita dell'uomo. La forma circolare presenta molte caratteristiche interessanti, ad esempio, il poter rotolare senza strisciare limita l’attrito e, riduce la difficoltà di movimento.
Una forma circolare è una forma simmetrica, dunque, può essere messa in qualunque posizione, non presenta problemi di incastro ed è semplice da produrre. Passiamo ora alle definizioni.
Una circonferenza è una linea chiusa formata da punti del piano che si trovano tutti quanti alla stessa distanza da un punto fisso. Il punto fisso viene detto centro della circonferenza e la distanza fissa è detta raggio. La circonferenza è dunque un luogo geometrico ovvero, i suoi punti godono tutti di una stessa proprietà: quella di essere equidistanti da un punto fisso. Ricordiamo che un luogo di punti è l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una determinata proprietà. Sono esempi di luoghi geometrici: la bisettrice di un angolo, o l'asse di un segmento.

Cerchio, raggio, diametro e simmetria

Abbiamo definito raggio la distanza costante dei punti della circonferenza dal centro, definiamo diametro il segmento che passa per il centro della circonferenza e che ha gli estremi su di essa. Il raggio è la metà del diametro. Si definisce cerchio l'insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni, la circonferenza costituisce il contorno del cerchio che è invece la parte di piano racchiusa all'interno della circonferenza e comprende anche i punti del contorno. La misura di questa superficie racchiusa è l’area del cerchio.
Circonferenza e cerchio sono figure simmetriche,  hanno un  centro di simmetria nel loro centro, e hanno infiniti assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per il centro. Per individuare in maniera univoca una circonferenza  nel piano ci sono almeno tre modi.

• Un primo modo è quello di assegnare il suo centro e un segmento che sia il raggio.
• Un secondo modo è quello di assegnare due punti di cui uno sia il centro e l’altro un punto della circonferenza. Il segmento definito da questi punti è il raggio e quindi ci ritroviamo nella condizione precedente.
• Un terzo modo è quello di assegnare tre punti del piano non allineati, per essi può passare una sola circonferenza.

Elementi della circonferenza e del cerchio

Si chiama arco la parte di circonferenza compresa tra due suoi punti.
Si chiama corda il segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza, la corda massima è il diametro perché passa per il centro ed è il doppio del raggio.
Detti A e B, due punti sulla circonferenza, tracciando la corda che ha per estremi questi punti, si possono individuare due archi di dimensioni differenti e si dice che la corda sottende l'arco. Quando la corda coincide con il diametro l'arco corrisponde ad una semicirconferenza. In questo caso anche il cerchio viene diviso esattamente in due parti dette semi cerchio.
Si definisce angolo al centro, un angolo il cui vertice si trova nel centro della circonferenza. I lati di un angolo al centro a loro volta intersecano la circonferenza in due punti e individuano un arco,  in questo caso si dice che l’angolo insiste su quell’arco. Altri elementi sono: i segmenti circolari e i settori circolari.  Un segmento circolare è compreso tra un arco di circonferenza e la corda che lo sottende, in questo caso il segmento è detto ad una base. Tracciando due corde parallele si  ottiene una parte di cerchio delimitata dalle due corde e da due archi, in questo caso si parla di segmento circolare a due basi.
Il settore circolare è la parte di cerchio compresa tra due raggi e un arco, come una fetta di torta.

Proprietà delle corde

Le corde di una circonferenza godono delle proprietà di seguito elencate.

• Se due corde sono congruenti, gli archi e gli angoli al centro ad esse corrispondenti sono congruenti, perché questi elementi si sovrappongono mediante una rotazione di centro O,  e ampiezza pari all’angolo.
• Se dal centro di una circonferenza si traccia la retta r perpendicolare ad una corda AB questa retta è detta asse della corda, quindi dimezza i due archi che la sottendono ed è bisettrice di ciascuno dei due angoli al centro che insistono su tali archi. La retta r è asse di simmetria della figura.
• Corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Una retta e una circonferenza possono avere diverse posizioni reciproche, in base al numero di punti di intersezione.

• Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune.
• Una retta è secante una circonferenza se ha due punti in comune con essa.
• Una retta è tangente a una circonferenza se ha solo un punto in comune con essa.
• Una retta è esterna a una circonferenza se non ha punti in comune con essa.

: se consideriamo le rette secanti e la tangente parallele a una retta data, notiamo che, man mano che le secanti si avvicinano alla retta tangente, i punti di intersezione si avvicinano sempre di più tra loro. Si può pensare che, anche per la tangente i punti di intersezione con la circonferenza siano due e siano coincidenti.

Cerchio figura perfetta

La forma del cerchio ha accompagnato l’uomo in tutta la sua storia e ha influenzato molte delle sue idee e concezioni; sono legate al cerchio e alla circonferenza alcune rappresentazioni dell’Universo e dell’uomo stesso. La regolarità di una figura circolare ha affascinato artisti e scienziati che hanno visto in essa il segno della perfezione. Leonardo Da Vinci ha disegnato l’uomo ideale all’interno di un cerchio. Il sommo poeta, Dante Alighieri, nella Divina Commedia, usa un’immagine composta da tre cerchi in un’unica estensione per indicare la trinità divina.

Per approfondire l’argomento sulla circonferenza e il cerchio vedi anche qui