Che cos'è la goniometria: definizioni principali

In questo appunto troverai le informazioni principali sulla goniometria, con un elenco delle principali formule da utilizzare negli esercizi.

Che cos'è la goniometria e cosa studia

La goniometria è una branca della matematica che studia la correlazione tra l'ampiezza degli angoli e gli archi corrispondenti.
Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi la stessa origine.

Gli archi corrispondenti sono le parti di circonferenza delimitate dai punti di intersezione tra le semirette dell'angolo e la circonferenza stessa.

L'angolo può avere più unità di misura, tra cui:

• il grado: esso rappresenta la
  [math]360°[/math]
  parte di un angolo giro
• il grado centesimale: esso rappresenta la
  [math]100°[/math]
  parte di un angolo retto
• il radiante: esso si definisce come l'angolo al centro di una circonferenza che insiste su di un arco, che rettificato, misura quanto il raggio

Gli angoli possono essere messi in correlazione con gli archi corrispondenti attraverso queste formule, in cui l'ampiezza degli angoli deve essere espressa mediante l'utilizzo del radiante:

, in cui

è la lunghezza dell'arco di circonferenza e

il raggio corrispondente. Da tale formula può essere estrapolata la seguente formula inversa:

.

Inoltre, gli angoli si possono orientare stabilendo un ordine tra le due semirette che lo definiscono.
Essi si assumono come positivi se si orientano in senso antiorario, mentre si considerano negativi qualora si orientano in senso orario.

La classificazione degli angoli può avvenire attraverso l'osservazione e lo studio di diverse caratteristiche. Una delle principali è l'ampiezza, ossia l'estensione della parte di piano racchiusa tra le due semirette. A seconda dell'ampiezza è infatti possibile definire diverse tipologie di angoli come l'angolo giro, l'angolo piatto, l'angolo retto etc.
Un altro metodo per classificare gli angoli consiste nel guardare il posizionamento dei prolungamenti: se, infatti, prolungando le semirette che lo compongono queste risultano interne all'angolo, l'angolo può essere considerato concavo. Se ciò non accade, l'angolo risulta convesso.

La conversione da gradi a radianti e le principali misure: dall'angolo giro all'angolo nullo

Come abbiamo già anticipato, gli angoli possono essere misurati impiegando diverse unità di misura. Le principali sono il radiante e il grado sessagesimale. I valori in gradi sessagesimali e in radianti dei principali angoli sono i seguenti:

• L'angolo giro misura
  [math]360°[/math]
  , cioè
  [math]2\pi[/math]
  radianti
• L'angolo piatto misura
  [math]180°[/math]
  ossia
  [math]\pi[/math]
  radianti
• L'angolo retto è ampio
  [math]90°[/math]
  cioè
  [math]\frac{\pi}{2}[/math]
  radianti
• L'angolo nullo ha un'ampiezza di
  [math]0°[/math]
  , ossia
  [math]0[/math]
  radianti

Per effettuare questa proporzione bisogna sfruttare la seguente proporzione:

. In questa formula

è il valore dell'angolo in gradi, mentre

è il corrispettivo valore in radianti.

Che cos'è la circonferenza goniometrica e a cosa serve

La circonferenza goniometrica è una circonferenza avente origine nell'origine degli assi e raggio unitario. Dal punto di vista matematico, essa può essere definita dall'equazione

Il punto

si definisce come l'origine degli archi e degli angoli ed in sua prossimità vi è l'angolo nullo (

e

) ma anche l'angolo giro (

e

).
Sulla circonferenza goniometrica è possibile individuare il valore del seno e del coseno di un angolo. Per farlo, bisogna prima di tutto rappresentare l'angolo.

Per disegnare un angolo sulla circonferenza goniometrica è necessario porre il vertice dell'angolo nell'origine degli assi, fissare una delle due semirette sull'asse

e prolungare l'altra semiretta finché non intercetta la circonferenza goniometrica in un punto.

Una volta ottenuto il punto, è necessario proiettarlo sull'asse delle

e sull'asse delle

attraverso un segmento perpendicolare. Il valore della proiezione sulle ascisse prende il nome di coseno dell'angolo mentre il valore della proiezione sull'asse delle ordinate prende il nome di seno.
Seno e coseno sono definite funzioni goniometriche poiché mettono in correlazione alcune lunghezze particolari con l'ampiezza degli angoli. Tali funzioni sono sfruttate, ad esempio, per calcolare il valore dell'ipotenusa o dei cateti all'interno dei triangoli rettangoli.

In tal caso, i cateti possono essere calcolati come il prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo adiacente, ossia dell'angolo posto a uno delle due estremità del cateto corrispondente. Se, invece, si vuole utilizzare il seno, è possibile calcolare il cateto come il prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto, cioè dell'unico angolo che non giace alle estremità del cateto.

Seno e coseno, inoltre, compaiono nelle cosiddette equazioni trigonometriche. Per svolgerle correttamente è necessario conoscere le principali formule che sanciscono la relazione tra le due funzioni. In particolare:

• la prima relazione fondamentale che definisce come unitaria la somma dei quadrati delle funzioni seno e coseno, cioè
  [math]cos(x)^2+sen(x)^2=1[/math]
• le formule di addizione e sottrazione, cui argomento è composto da una somma di angoli. Per il seno e il coseno, ad esempio, vale che
  [math]sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)[/math]
  e
  [math]cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)[/math]
• le formule di duplicazione, in cui l'argomento è pari al doppio di un angolo. In questo caso vale che
  [math]sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha), cos(2\alpha)=cos(\alpha)^2-sen(\alpha)^2[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulla goniometria vedi anche qui