Unità di misura dell'angolo

In questo appunto le unità di misura degli angoli verranno introdotte, definite e spiegate. Inoltre, verranno introdotte le relazioni di conversione tra un’unità di misura e l’altra, e fatti esempi numerici.

Definizioni

Dalla definizione di angolo, si ricorda che l’angolo non è altro che una parte di piano.

L’angolo è una grandezza adimensionale. Esistono diverse unità di misura attraverso le quali è possibile andare a quantificare l’angolo da misurare. Tutte le unità di misura sono costruite sulla base di individuare una misura che quantifichi il movimento (spostamento) del lato di origine da cui è originato l’angolo verso l’altro lato esterno dell’angolo. L’angolo, dunque, quantifica la rotazione attorno al vertice da cui è originato l’angolo.
Le unità di misura sono:

• Il radiante. Il radiante è definito come l’angolo il cui arco risulti essere uguale al raggio.
• Il sessagesimale. Il grado sessagesimale è definito come la
  [math]360[/math]
  esima parte dell’angolo giro (angolo di 360°).
• Il grado centesimale. Il grado centesimale è definito come la
  [math]400parte[/math]
  esima dell’angolo giro (angolo di 360°)
• Il grado decimale. Il grado centesimale è definito come la
  [math]400 [/math]
  esima parte dell’angolo giro (angolo di 360°), proprio come il grado centesimale. La differenza tra grado decimale e centesimale sta nel fatto che il grado decimale è in grado di esprimere i sottomultipli del grado in forma proprio decimale.

Per ulteriori approfondimenti sul concetto di angolo vedi qui

Misura in gradi sessagesimali

I gradi sessagesimali si usano in geometria elementare. Se

è la misura dell’angolo in gradi allora tutte le misure

di quell’angolo saranno date dalla seguente relazione:

La misura compresa nell’intervallo

viene chiamata misura principale di

.
Questa relazione matematica esprime dunque come il grado sessagesimale sia la

esima parte dell'angolo giro.
Di seguito vi sono degli esempi numerici

• [math]0°[/math]
  è la misura dell’angolo nullo.
• [math]90°[/math]
  è la misura dell’angolo retto positivo.
• [math]180°[/math]
  è la misura dell’angolo piatto.
• [math]270°[/math]
  è la misura dell’angolo retto negativo.

Il radiante

L’angolo viene misurato nel Sistema Internazionale di misura attraverso il Radiante. La definizione di radiante è complessa.
Si consideri un cerchio qualsiasi, e si tracciano sul cerchio due raggi tali per cui non risultino essere coincidenti. I raggi disegnati vanno ad individuare un arco. Da qui, si può osservare che il rapporto tra l’angolo che si è formato al centro della circonferenza e la lunghezza dell’arco risulta essere sempre costante. Questo rapporto è indipendente dal raggio.
Da qui è possibile definire il radiante come l’angolo formato al centro del cerchio di raggio R generico formato con un arco di circonferenza, arco che sarà pari al raggio stesso.
Ricordando che la circonferenza di un cerchio si individua come:

.

Si dice che il radiante sia l’unità di misura assoluta degli angoli.

Per ulteriori approfondimenti sul cerchio, raggio e circonferenza, vedi qui

La peculiarità degli angoli espressi in radianti è che questi possono indicare lo stesso angolo in differenti maniere.
Per esempio la misura in radianti dell’angolo retto positivo, ovvero di

può essere indicato come:

• Primo modalità:
  [math]\frac{π}{2}[/math]
• Seconda modalità:
  [math]\frac{5}{2}π[/math]
• Terza modalità:
  [math]\frac{9π}{2}π[/math]
• Quarta modalità:
  [math]-\frac{3π}{2}π[/math]

Se

è la misura dell’angolo in radianti allora tutte le misure

di quell’angolo saranno date dalla seguente relazione:

La misura compresa nell’intervallo [0; 2π] viene chiamata misura principale di

.

Esempi

• 0 è la misura dell’angolo nullo;
• [math]\frac{\pi}{2}[/math]
  è la misura dell’angolo retto positivo;
• [math]\pi[/math]
  è la misura dell’angolo piatto;
• [math]\frac{3}{2}\pi[/math]
  è la misura dell’angolo retto negativo.

Conversione tra le unità di misura

Quando una grandezza fisica possiede diverse unità di misura, attraverso le quali viene individuata, è necessario conoscere come si possa passare da un'unità di misura all'altra. Le conversioni tra le unità di misura degli angoli vengono individuate attraverso delle semplici proporzioni: se l’angolo piatto viene espresso in radianti, in gradi sessagesimali deve comunque esprimere sempre un angolo piatto.

È possibile individuare i radianti per ciascun angolo, di seguito vi sono degli esempio numerici:

• La misura in radianti dell’Angolo Giro, ovvero dell'angolo di
  [math]360° = \frac{2πR}{R}= 2π[/math]
  ;
• La misura in radianti dell’angolo Piatto, ovvero dell'angolo di
  [math]180°= \frac{πR}{R} = π[/math]
  ;
• La misura in radianti dell’angolo Retto, ovvero dell'angolo di
  [math]90°= \frac{πR}{2R} = \frac{π}{2}[/math]
  .

Il radiante è la misura assoluta degli angoli.

Passaggio dai gradi ai radianti

Le unità di misura principali che vengono utilizzate per gli angoli, sono i radianti e i gradi sessagesimale. Pertanto, è necessario andare a definire la relazione di passaggio che vi è tra i gradi e i radianti. Queste tipologie di conversioni possono essere molto utili negli esercizi di trigonometria.
Da cui, la relazione di base per la conversione da gradi a radianti prevede che i gradi debbano essere moltiplicati per

e divisi per

. Il valore risultante sarà l'angolo espresso in radianti.
La relazione matematica è la seguente:

Invece, la relazione di base per la conversione da radianti a gradi prevede che i radianti debbano essere moltiplicati per

e divisi per

. Il valore risultante sarà l'angolo espresso in gradi sessagesimali.
La relazione matematica è la seguente:

Esempi numerici

Volendo ora fare degli esempi numerici di conversione da angolo espresso in gradi ad angolo espresso in radianti, abbiamo:

Volendo ora fare degli esempi numerici di conversione da angolo espresso in gradi ad angolo espresso in radianti, abbiamo: