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Tabella degli integrali


L'integrale non è altro che un operatore matematico, che consente di calcolare l'area sottesa ad una curva in un dato intervallo.


Supponiamo di avere la funzione f(x) del tipo rappresentato in FIGURA 1 in allegato, e di voler calcolare l'area sottesa alla curva f(x) nel tratto delimitato dai punti a e b.

Questa operazione si indica come:

[math]\int_{a}^{b} f(x)\, dx[/math]


Dove:
a e b sono gli estremi considerati (o estremi di integrazione);
f(x) è detta funzione integranda;
il simbolo è detto simbolo di integrale;
dx è il differenziale, che ci ricorda che stiamo integrando rispetto alla variabile x.

Il risultato di questa operazione sarà un numero, e si dirà che abbiamo calcolato l'integrale della f(x) nell'intervallo a-b.

Nell'esempio di FIGURA 1, il risultato sarà un numero negativo perché è vero che l'integrale calcola l'area sottesa, ma quando questa è posta sotto l'asse x essa sarà un'area negativa.

L'operazione precedentemente esposta si chiama "calcolo dell'integrale definito". Si chiama integrale definito l'integrale calcolato facendo riferimento a due precisi estremi di integrazione.
Volendo, però, potremmo anche calcolare l'"integrale indefinito" della funzione, cioè l'integrale della funzione f(x) in un intervallo generico. E in tal caso si scriverà:

[math]∫f(x) dx[/math]

Regole


Questa operazione, differentemente dalla prima, non porterà più ad un numero preciso, ma ad avere un'altra funzione di x che chiameremo g(x), ovvero:

[math]∫f(x) dx = g(x)[/math]


Comunemente molti preferiscono scrivere la g(x) come una F(x), chiamandola "funzione primitiva di f(x)". Il che, da un punto di vista formale, è certamente più corretto.
Quest'ultima definizione, infatti, ci aiuta meglio a capire come poter calcolare l'integrale indefinito di una f(x) per arrivare alla sua primitiva F(x).
Infatti la F(x) non è una funzione qualsiasi, ma è quella "speciale" funzione che derivata ci dà la f(x), cioè la funzione integranda. In formula:

[math]∫f(x) dx = F(x)[/math]

[math]F'(x) = f(x)[/math]


Da quanto detto finora, si capisce che non esiste un metodo preciso per il calcolo degli integrali indefiniti, ma occorre semplicemente trovare/intuire una funzione F(x), e per avere la sicurezza che sia quella giusta, basterà poi farne la derivata. Cioè se la derivata di F(x) coincide con la f(x) di partenza, avremo la sicurezza di aver trovato la vera funzione primitiva.
Una volta risolto l'integrale indefinito, sarà poi facile passare alla soluzione dell'integrale definito. Basterà sostituire alla x della soluzione rispettivamente gli estremi b e a dell'intervallo considerato, e poi calcolarne la differenza.
In formule diremo che:

[math]\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)[/math]


Tutto questo dimostra la grande importanza degli integrali indefiniti. Perché, sapendoli calcolare, potremo passare a tutti gli integrali definiti di quella funzione.
Esiste quindi una tabella che potremo definire "tabella degli integrali indefiniti più usati" (cioè "integrali indefiniti notevoli") i cui valori, imparati a memoria, ci consentiranno di risolvere la maggioranza degli integrali. Tale tabella è quasi sempre riportata nei libri di testo che trattano l'argomento "integrali", non di rado in appendice. Così come tali testi riportano spesso anche la tabella delle derivate fondamentali. D'altronde, come abbiamo visto, c'è una profonda analogia tra derivate e integrali: una è l'operazione opposta dell'altra.
E' possibile leggere e scaricare tale tabella degli integrali indefiniti nel file allegato a questo appunto.
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