Tabella degli integrali: regole

In questo appunto di analisi matematica si tratta degli integrali, attraverso un piccolo excursus storico scopriamo alcune curiosità sull'origine antica del concetto si somme integrali. Rivediamo la definizione di integrale definito e indefinito con qualche piccolo esempio. L'appunto contiene in allegato una tabella degli integrali notevoli, sempre utile per la risoluzione degli esercizi. Cenni ai vari metodi di integrazione.

Calcolo infinitesimale, note storiche

Archimede di Siracusa può essere considerato il primo fisico in senso moderno, i suoi contributi riguardano l'ottica l'idraulica, l'idrostatica, e i testi da lui scritti sono molteplici anche se alcuni non ci sono pervenuti. Per primo egli si occupa di problemi geometrici applicando i suoi studi di meccanica e statica, con il suo metodo anticipa di quasi due millenni il calcolo integrale. Archimede considera superfici e volumi come somme di un numero infinito di elementi infinitamente piccoli; una somma di corde parallele al suo diametro equivale ad un segmento parabolico; una sfera è il risultato della somma di tutte le sue sezioni circolari parallele tra loro.
Fino a metà del 1500 in tutte le università europee viene ancora insegnata la scienza degli antichi greci come quella di Aristotele e di Tolomeo, con l'Umanesimo e il Rinascimento arrivano grandi progressi in alcune scienze pratiche tra cui anche la matematica.
La prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo è quella formulata da Riemann nella seconda metà dell’ottocento. La teoria dell'integrazione secondo Riemann si basa infatti sulla nozione di somma inferiore e di somma superiore e l’integrabilità di una funzione richiede che l'insieme delle somme inferiori e quello delle somme superiori costituiscano una coppia di classi contigue.

Come classificare gli integrali

Il simbolo è un operatore proprio come il simbolo dell’addizione , della divisione , della radice quadrata oppure quello di una sommatoria .
L’operatore integrale agisce sulle funzioni, in particolare ci riferiremo alle funzioni reali cioè le funzioni che hanno per dominio e per codominio o suoi sottoinsiemi:




Per queste funzioni sono definiti due tipi di operatori integrali:

• gli integrali definiti sono quelli che associano ad una funzione l'area sottesa dal grafico su un determinato intervallo


• gli integrati indefiniti sono quelli che individuano le primitive di una funzione

La differenza sostanziale tra questi due tipi di integrali sta nel loro risultato.
Calcolare un integrale definito significa trovare un numero che è il valore di un’area. Area della superficie del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse ed eventualmente altre rette.
Calcolare un integrale indefinito significa trovare una primitiva. Un insieme infinito di funzioni che differiscono solo per una costante additiva. La primitiva di una funzione è detta anche antiderivata, ed è una qualsiasi funzione derivabile, la cui derivata coincide con la funzione integranda:



Per ulteriori approfondimento sulla definizione di derivata vedi qua

Integrale definito di funzioni reali

Supponiamo di avere la funzione del tipo rappresentato in FIGURA 1 in allegato, e di voler calcolare l'area sottesa alla curva nel tratto delimitato dai punti a e b.
La scrittura matematica che indica questa operazione di integrazione è la seguente:



Dove:

• a e b sono definiti estremi di integrazione e l’intervallo [a; b] appartiene al dominio della funzione;


• [math]f(x)[/math]
  è detta funzione integranda;


• il simbolo
  [math]\int[/math]
  è detto simbolo di integrale;


• dx è il differenziale, che ci ricorda che stiamo integrando rispetto alla variabile x

Il risultato di questa operazione è un numero, e si dirà che abbiamo calcolato l'integrale della funzione nell'intervallo .

Nell'esempio di FIGURA 1, il risultato sarà un numero negativo perché l'area sottesa è posta sotto l'asse delle ascisse. Per ovviare si può considerare il valore assoluto dell’integrale definito, perché un’area negativa non ha significato.
L'operazione precedentemente esposta si chiama "calcolo dell'integrale definito". Si chiama integrale definito l'integrale calcolato facendo riferimento a due precisi estremi di integrazione.
Il calcolo di un integrale definito avviene in due passi.
Il primo passo consiste nel determinare l’insieme delle primitive.
Il secondo passo consiste nel calcolare la differenza tra i valori che questa assume nei due estremi di integrazione, in formula abbiamo:



Per ulteriori approfondimenti sulla definizione di differenziale vedi qua

Integrale indefinito di funzioni reali

L’integrale indefinito è un operatore che associa alla nostra funzione integranda, un insieme di primitive
L'integrazione è un concetto che sta alla base dell'analisi matematica, con questo tipo di operazione, se conosciamo la derivata di una funzione, ovvero l’espressione algebrica di , possiamo trovare l'equazione di . Abbiamo introdotto prima il concetto di integrale definito perché il problema del calcolo dell’area sottesa al grafico di una funzione è strettamente collegato all’operazione di ricerca della derivata.
Sappiamo che l’operazione di derivazione associa a una funzione un’altra funzione, la sua derivata, che è unica. Il problema inverso della derivazione è quello che dobbiamo risolvere adesso.
Data una funzione, esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data?
Per esempio, integrare la funzione razionale intera significa trovare una funzione la cui derivata sia proprio . Dalle regole di derivazione, sappiamo che:



perciò, a ritroso, riconosciamo che la funzione ha come derivata , quindi, possiamo affermare che è una primitiva di .
Una funzione di questo tipo viene detta primitiva di .
Attenzione!!
Abbiamo parlato di un insieme di primitive, ovvero di infinite funzioni che hanno la stessa derivata.
La primitiva di una funzione non è unica.
Scriviamo allora altre funzioni che hanno come derivata :

• [math]f(x)=x^3+3 \to f’(x)=3x^2[/math]


• [math]f(x)=x^3-e^2 \to f’(x)=3x^2[/math]


• [math]f(x)=x^3+\sqrt{7} \to f’(x)=3x^2[/math]

Tutte queste funzioni differiscono per il termine noto, che essendo una costante additiva ha derivata nulla. Possiamo rappresentare tutte le primitive trovate con la seguente scrittura:



Possiamo allora affermare quanto segue: si dice integrale indefinito della funzione l’insieme delle sue primitive e si indica come segue:



Per ulteriori approfondimenti sulle primitive e sugli integrali indefiniti vedi qua

Tabella degli integrali indefiniti notevoli

L’integrazione indefinita non ci porta ad un risultato numerico, ma ad avere un'altra funzione di x che rappresenta l’insieme delle sue primitive che, come abbiamo visto indichiamo genericamente con , il che significa:



Quest'ultima definizione, infatti, ci aiuta meglio a capire come poter calcolare l'integrale indefinito di una f(x) per arrivare alla sua primitiva F(x).
Infatti la F(x) non è una funzione qualsiasi, ma è quella "speciale" funzione che derivata ci dà la f(x), cioè la funzione integranda. In formula:



Come si calcolano gli integrali indefiniti?
In maniera del tutto analoga, per quanto riguarda le derivate delle funzionielementari e le derivate delle funzioni composte, anche per gli integrali indefiniti esiste una tabella di riferimento in cui sono riportati gli integrali immediati. Una tabella che potremo definire "tabella degli integrali indefiniti più usati" (cioè "integrali indefiniti notevoli") i cui valori, imparati a memoria, ci consentiranno di risolvere la maggioranza degli integrali. Tale tabella è quasi sempre riportata nei libri di testo che trattano l'argomento "integrali", non di rado in appendice. Così come tali testi riportano spesso anche la tabella delle derivate fondamentali. D'altronde, come abbiamo visto, c'è una profonda analogia tra derivate e integrali: i due operatori sono l’uno l’opposto dell'altro.
È possibile leggere e scaricare tale tabella degli integrali indefiniti nel file allegato a questo appunto.
La consultazione della tabella è sicuramente utile quando si è alle prime armi, in seguito, man mano che si fanno esercizi diventa tutto più familiare. Ricordiamo che è possibile utilizzare, a scopo di verifica, anche calcolatori di integrali disponibili online oppure delle applicazioni per i vari sistemi operativi.
Vediamo a titolo di esempio l’integrazione di una funzione goniometrica e di una funzione algebrica:







Per ulteriori approfondimenti sul calcolo delle derivate vedi qua

Tecniche di risoluzione degli integrali indefiniti

Quando la funzione integranda si presenta in una forma immediatamente riconducibile ad un integrale immediato, cioè uno di quelli che si trovano nella tabella, la sua risoluzione è molto agevole. Nei due esempi visti sopra accanto alla funzione integranda sono presenti delle costanti moltiplicative che possono facilmente essere portate fuori dall’operatore di integrazione. Riportiamo di seguito un elenco dei diversi metodi di integrazione

• Integrazione indefinita immediata


• Integrazione delle funzioni razionali fratte


• Integrazione per scomposizione


• Integrazione per sostituzione


• Integrazione per parti

Ogni integrale è un caso a se.
Nel momento in cui ci accingiamo a risolverne uno dobbiamo identificare se si tratta di un integrale notevole oppure se è necessario adottare uno dei metodi in elenco. Una volta risolto possiamo sempre fare una verifica. Se effettuiamo la derivata della primitiva che abbiamo trovato dobbiamo riottenere la funzione integranda, se non è così vuol dire che abbiamo commesso qualche errore. Ripetiamo allora la procedura di integrazione.

Per ulteriori approfondimenti sull’integrazione per sostituzione e per parti vedi qua