In questo appunto analizzeremo tre dei principali metodi utili per l'integrazione: l'integrazione per scomposizione, l'integrazione per parti e l'integrazione per sostituzione, approfondendo di volta in volta ogni metodo con degli esempi specifici.
Indice
Metodo di integrazione per scomposizione
Il metodo di integrazione per scomposizione della funzione integranda[math] f(x) [/math]
si realizza, quando possibile, sfruttando la linearità dell’integrale rispetto all’operazione di somma algebrica.Supponiamo che
[math]f(x) = f_1 (x) + f_2(x) + \dots + f_n(x)[/math]
. Allora vale la relazione:
[math]\int f(x) dx = \int f_1(x) dx + \int f_2(x) dx + … + \int f_n(x) dx [/math]
Chiaramente tale regola funziona anche con le sottrazioni, per questo parliamo di somma algebrica.
Ad esempio, se consideriamo
[math]f(x)=x^3-3x^2+9x[/math]
, allora [math]\int f(x) dx = \int x^3-3x^2+9x dx = \int x^3 dx - \int 3x^2 dx + \int 9x dx[/math]
. Abbiamo quindi scomposto l'integrale iniziale in tre integrali più piccoli, o meglio, più semplici, rispettando i segni.
Metodo di integrazione per sostituzione
Il metodo di integrazione per sostituzione della variabile di integrazione richiede di individuare una relazione tra quest’ultima e una nuova variabile[math]t[/math]
(può essere chiamata, in realtà, a nostro piacimento) tale che:
[math]\text{se } t = f(x) \rightarrow dt = f’(x) dx[/math]
Dove
[math]f'(x)[/math]
è la derivata di [math]f(x)[/math]
.Per approfondimenti sulle derivate, vedi anche qua.
Sulla base di questa relazione è possibile riscrivere l’integrale da calcolare rispetto alla nuova variabile, immettendo quando necessario le costanti utili a preservare l’uguaglianza con l’integrale iniziale.
Ad esempio, consideriamo l'integrale
[math]\int \frac{e^x}{e^x-1} dx[/math]
. Per semplicità, poniamo [math]t=e^x[/math]
, allora [math]dt = e^x dx[/math]
. L'integrale in questione diventa quindi [math]\int \frac{t}{t-1} \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t-1} dt[/math]
, che è molto più semplice da risolvere. A fine calcolo, è necessario sostituire [math]t[/math]
con [math]e^x[/math]
, ciò serve a trovare l'integrale in funzione di [math]x[/math]
.
Metodo di integrazione per parti
Il metodo di integrazione per parti si ricava direttamente dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni[math]f[/math]
e [math]g[/math]
, e richiede di identificare la funzione integranda come il prodotto di due funzioni chiamate rispettivamente fattore finito e fattore differenziale.Ricordando che, date due funzioni
[math]f, g[/math]
, per la regola della derivata del prodotto di due funzioni, si ha:
[math](fg)'=f'g+fg'[/math]
Ricaviamo che
[math]fg = \int f'g + \int fg'[/math]
e quindi, infine, otteniamo la formula d'integrazione per parti.
[math]\int f(x) \cdot g’(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int f’(x) \cdot g(x) dx[/math]
NOTA: il metodo di integrazione per parti può essere applicato ricorsivamente e talvolta può ricondurre all’integrale iniziale, consentendo di specificare un’uguaglianza che ne determini la risoluzione, come vedremo negli esempi successivi integrando il seno al quadrato.
Esercizi di esempio
Esercizio di esempio sul metodo di scomposizione.Calcolare
[math]\int \frac{x+2}{x+3} dx[/math]
.
Svolgimento
Scriviamo la funzione integranda con un trucco:[math]\int \frac{x+2}{x+3} dx = \int \frac{x+3-1}{x+3} dx = \int 1-\frac{1}{x+3} dx = \int 1 - \int \frac{1}{x+3} dx = x-\ln(|x+3|)+c[/math]
.Nel penultimo passaggio abbiamo scomposto l'integrale, poiché esso era rappresentato dalla somma algebrica di due (quindi più di una) funzioni.
Esercizio di esempio sul metodo di sostituzione
Calcolare[math]\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} dx[/math]
.
Svolgimento
La prima cosa che vediamo è che[math]\sqrt{x}[/math]
compare "spesso" nell'integrale. Per questo si può pensare a porre [math]t=\sqrt{x}[/math]
e allora [math]dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}}[/math]
. L'integrale diventa quindi, sostituendo: [math]\int \frac{t}{t-1} \cdot 2t \ dt[/math]
. Facciamo i seguenti passaggi algebrici, che richiederanno ancora una volta l'uso del metodo di scomposizione: [math]\int \frac{2t^2}{t-1} \ dt = 2\int \frac{t^2}{t-1} \ dt = 2 \int \frac{t^2-1}{t-1} + \frac{1}{t-1} \ dt = 2[\int t+1 \ dt + \int \frac{1}{t-1} \ dt = 2[\frac{t^2}{2}+t+\ln(|t-1|) = 2[\frac{x}{2}+\sqrt{x}+\ln(|\sqrt{x}-1|)]+c. [/math]
Esercizio di esempio sull'integrazione per parti
Calcolare
[math]\int \sin^2(x) \ dx[/math]
.
Svolgimento
Si nota che possiamo scrivere:[math]\sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x)[/math]
. Ponendo quindi [math]f(x)= \cos(x), f'(x)=\sin(x), g(x)=\sin(x), g'=-cos(x)[/math]
e applicando la formula dell'integrazione per parti, si ottiene:
[math]\int \sin^2(x) \ dx = -\cos(x)\sin(x) - \int -\cos^2(x) dx = -\cos(x)\sin(x)+ \int cos^2(x) dx = -\cos(x)\sin(x)+\int 1-\sin^2(x) \ dx[/math]
, dove l'ultima uguaglianza viene fuori dall'identità fondamentale della trigonometria. Chiamiamo: [math]I=\int \sin^2(x) \ dx[/math]
. Allora avremo: [math]I=-\cos(x)\sin(x)+x-I[/math]
, e quindi: [math]I=\frac{-\cos(x)\sin(x)+x}{2}+C[/math]
.Per ulteriori approfondimenti sull'integrazione per parti vedi anche qua
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