Integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione

In questo appunto analizzeremo tre dei principali metodi utili per l'integrazione: l'integrazione per scomposizione, l'integrazione per parti e l'integrazione per sostituzione, approfondendo di volta in volta ogni metodo con degli esempi specifici.

Metodo di integrazione per scomposizione

Il metodo di integrazione per scomposizione della funzione integranda

si realizza, quando possibile, sfruttando la linearità dell’integrale rispetto all’operazione di somma algebrica.
Supponiamo che

.

Allora vale la relazione:

Chiaramente tale regola funziona anche con le sottrazioni, per questo parliamo di somma algebrica.

Ad esempio, se consideriamo

, allora

. Abbiamo quindi scomposto l'integrale iniziale in tre integrali più piccoli, o meglio, più semplici, rispettando i segni.

Metodo di integrazione per sostituzione

Il metodo di integrazione per sostituzione della variabile di integrazione richiede di individuare una relazione tra quest’ultima e una nuova variabile

(può essere chiamata, in realtà, a nostro piacimento) tale che:

Dove

è la derivata di

.
Per approfondimenti sulle derivate, vedi anche qua.
Sulla base di questa relazione è possibile riscrivere l’integrale da calcolare rispetto alla nuova variabile, immettendo quando necessario le costanti utili a preservare l’uguaglianza con l’integrale iniziale.

Ad esempio, consideriamo l'integrale

. Per semplicità, poniamo

, allora

. L'integrale in questione diventa quindi

, che è molto più semplice da risolvere. A fine calcolo, è necessario sostituire

con

, ciò serve a trovare l'integrale in funzione di

.

Metodo di integrazione per parti

Il metodo di integrazione per parti si ricava direttamente dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni

e

, e richiede di identificare la funzione integranda come il prodotto di due funzioni chiamate rispettivamente fattore finito e fattore differenziale.
Ricordando che, date due funzioni

, per la regola della derivata del prodotto di due funzioni, si ha:

Ricaviamo che

e quindi, infine, otteniamo la formula d'integrazione per parti.

NOTA: il metodo di integrazione per parti può essere applicato ricorsivamente e talvolta può ricondurre all’integrale iniziale, consentendo di specificare un’uguaglianza che ne determini la risoluzione, come vedremo negli esempi successivi integrando il seno al quadrato.

Esercizi di esempio

Esercizio di esempio sul metodo di scomposizione.

Calcolare

.

Svolgimento

Scriviamo la funzione integranda con un trucco:

.
Nel penultimo passaggio abbiamo scomposto l'integrale, poiché esso era rappresentato dalla somma algebrica di due (quindi più di una) funzioni.

Esercizio di esempio sul metodo di sostituzione

Calcolare

.

Svolgimento

La prima cosa che vediamo è che

compare "spesso" nell'integrale. Per questo si può pensare a porre

e allora

. L'integrale diventa quindi, sostituendo:

. Facciamo i seguenti passaggi algebrici, che richiederanno ancora una volta l'uso del metodo di scomposizione:

Esercizio di esempio sull'integrazione per parti

Calcolare

.

Svolgimento

Si nota che possiamo scrivere:

. Ponendo quindi

e applicando la formula dell'integrazione per parti, si ottiene:

, dove l'ultima uguaglianza viene fuori dall'identità fondamentale della trigonometria. Chiamiamo:

. Allora avremo:

, e quindi:

.

Per ulteriori approfondimenti sull'integrazione per parti vedi anche qua