Studio di integrali definiti, area, significato geometrico ed area tra due curve

Abbiamo il seguente integrale definito:

La cosa che dobbiamo innanzitutto capire è che l'integrale definito della funzione

tra l'estremo

e dell'estremo

è collegato all'area compresa tra il grafico di

, l'asse delle ascisse e le rette verticali

e

.

Tuttavia il risultato di quest'integrale definito, che vi ricordo che sarà un numero, non è uguale necessariamente all'area ma più in generale si dice che è un'area orientata, ovvero un'area compresa in segno.

Per capire meglio che cosa intendo con area in segno, consideriamo i seguenti esempi. Ad esempio nel primo grafico della funzione che vi ho disegnato, è una funzione positiva, ossia il cui grafico è sempre al di sopra all'asse della

.

In questo caso se andiamo a calcolare l'integrale tra

e

di

il risultato che otteniamo è proprio la misura dell'area della superficie delimitata tra il grafico della funzione

, l'asse delle ascisse e le rette verticali

e

.

Quindi se chiamiamo l'area delimitata tra il grafico della funzione

, l'asse delle ascisse e le rette verticali

e

,

quello che otteniamo è proprio la misura di

. Quindi:

Ora consideriamo quest'altro esempio:

Se andiamo a fare la stessa cosa in quest'altro esempio, dove vedete la funzione che ho disegnato questa volta è sempre negativa all'interno dell'intervallo

, quindi se in questo secondo esempio andiamo a calcolare l'integrale definito tra

e

di

e se chiamiamo la misura di quella superficie

, quello che otteniamo non è proprio

ma otteniamo

, quindi la misura della superficie delimitata dalla funzione delle due rette e l'asse dell'ascissa, però cambiata di segno. Quindi:

Ora se consideriamo quest'ultimo esempio e facciamo la stessa cosa anche in quest'ultimo:

Vediamo che in questo caso non c'è stato bisogno di disegnare le rette

e

, perché gli estremi

e

che ho preso sono proprio coincidenti con punti dove la funzione interseca l'asse delle ascisse. Quindi se andiamo a calcolare l'integrale definito tra

e

e

, in questo terzo caso, e chiamiamo l'area "superiore"

e l'area "inferiore"

, il risultato dell'integrale sarà:

Come possiamo osservare, la situazione cambia a secondo di "che cosa fa" la funzione che stiamo considerando all'interno dell'intervallo di integrazione; perché se la nostra funzione all'interno dell'intervallo di integrazione

lungo cui stiamo integrando è sempre positiva, allora il risultato è effettivamente vi coincide con l'area della superficie. Se la funzione è sempre negativa ci verrà meno la misura dell'area. Se invece la funzione è in parte negativa e poi in parte diventa positiva, o viceversa, quello che accade è che il risultato non coincide in nessun modo con l'area, ma in un certo senso una somma di contributi positivi e negativi all'area.

Area tra due curve

Diamo un'occhiata al grafico che ho disegnato:

Vedete che ho disegnato una

e una

e supponiamo che l'obbiettivo sia quello di calcolare l'area della regione di piano delimitata dai grafici di queste due funzioni e dalle rette verticali

e

. In altre parole supponiamo di voler calcolare l'area della regione

. Come procediamo per calcolarla?

Allora, sicuramente deve essere vero che se andiamo a calcolare l'integrale tra

e

della funzione

(vedete che la funzione

è positivo) questo ci fornirebbe l'area delimitata dal grafico della

, l'asse dell'ascisse e le rette verticali

e

. (In azzurro nel grafico). Quindi:

D'altra parte, se andiamo a calcolare l'integrale tra

e

e la

, questo a cosa corrisponderà? Vedete che la

è anche lei positiva all'interno di quest'intervallo e quindi questo integrale definito mi fornirebbe l'area della parte in verde. Quindi:

Quindi, come faccio a calcolare la

che mi interessa? Vedete che la

la ottengo proprio facendo l'area azzurra meno l'area verde, perché se a tutta l'area azzurra, sottraggo l'area verde, quello che ottengo è proprio l'area delimitata tra due funzioni. Quindi per trovare

è sufficiente che sottraiamo i due integrali:

D'altra parte vediamo che essendo entrambi gli integrali calcolati tra

e

, si può semplicemente scrivere che l'area è uguale a:

Questa è una formula di validità generale che ci permette di calcolare l'area compresa tra il grafico di

e il grafico di

, e le rette verticali

e

. La cosa che è interessante di questa formula è che vale anche se il grafico di

o il grafico di

si trovano in regioni del piano al di sotto dell'asse delle

quindi vale anche se

oppure

o magari entrambi o magari solo una parte di qualcuna delle due, diventa negativa all'interno dell'intervallo

. Quindi la formula varrà sempre purché si esegua sempre come: