Derivata, il limite del rapporto incrementale

In questo appunto discutiamo di un argomento cardine dell'analisi matematica, e in particolare del calcolo differenziale. Apriamo con un cenno storico allo sviluppo di questo ramo della matematica e ai suoi padri fondatori. Ricordiamo il significato geometrico della derivata di grande utilità in molti campi di ricerca. Non dimentichiamo mai il formalismo che in matematica è importante per comunicare i concetti appresi.

Calcolo differenziale, concetti generali

Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più importanti della matematica e di ogni sua applicazione, ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. Newton e Leibniz sono considerati i fondatori di questo tipo di calcolo, essi vi giunsero nel corso del XVII secolo, operando in maniera indipendente l’uno dall’altro.
In gran parte dei fenomeni studiati dalle scienze è importante misurare le variazioni di alcune grandezze, mediante il calcolo differenziale si pone l’attenzione essenzialmente sulle questioni di incremento o decremento di una grandezza, piuttosto che sulla grandezza stessa. I problemi affrontati dall'analisi matematica sono sostanzialmente di due tipi:

• data una funzione, misurare il suo incremento positivo o negativo;


• conoscendo la misura dell'incremento, determinare la funzione.

Il calcolo differenziale risolve problemi del primo tipo, il calcolo integrale quelli del secondo tipo.
Il calcolo differenziale, ad esempio, permette di stabilire metodi generali per risolvere problemi di ottimizzazione, problemi cioè in cui si cerca l’eventuale minimo o massimo valore che può assumere una grandezza.
Le leggi fisiche spesso vengono espresse mediante principi di minimo. Anche in natura si trovano di solito dei comportamenti spiegabili sulla base di un analogo principio.
Le api, ad esempio, dovendo costruire un nido di cellette tutte uguali, utilizzano istintivamente la migliore configurazione possibile, quella esagonale. Tra le forme geometriche possibili, infatti, la forma esagonale è quella di perimetro minimo e, quindi, permette il minimo consumo possibile di cera.
Per affrontare lo studio della derivata di una funzione sono necessari tre prerequisiti:

1. il concetto di limite;


2. il calcolo dei limiti;


3. il concetto di continuità.

Problema della retta tangente

Dal punto di vista geometrico, il concetto di derivata nasce dal problema della ricerca della retta tangente a una curva in un suo punto, mentre dal punto di vista applicativo la derivata è lo strumento che serve per descrivere la velocità con cui varia una grandezza. La determinazione della retta tangente ad una curva non è solo una questione geometrica, ma abbraccia diversi campi. Sappiamo dalla fisica che la velocità istantanea di un punto materiale in ogni punto della sua traiettoria è rappresentata dalla pendenza della retta tangente all'equazione oraria, cioè la pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo nel punto corrispondente a tale istante. Dalla geometria analitica sappiamo che la pendenza di una retta nel piano cartesiano è il valore del coefficiente angolare. Allo stesso modo l'accelerazione istantanea è la pendenza della tangente alla curva che rappresenta la velocità. In economia, per conoscere il comportamento di una variabile rispetto ad un'altra, per esempio la domanda di un prodotto in funzione del suo prezzo, è necessario sapere se la funzione cresce o decresce e anche di quanto in un punto del suo grafico. Valutare la pendenza della retta tangente, in quel punto preciso consente di apprezzare tali variazioni. Il concetto di velocità di variazione è molto importante nello studio di diversi fenomeni perché ci dà un'indicazione di quanto mediamente cresce o decresce una funzione in un certo intervallo.
La retta tangente ad una curva in un punto è completamente individuata se si conosce la sua pendenza, e la pendenza della retta tangente si determina con il calcolo di una derivata.

Rapporto incrementale

Per dare la definizione di derivata diamo prima quella del rapporto incrementale relativo ad un punto perché la derivata è il limite di questo rapporto.
Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo I è un punto .
Consideriamo un piccolo incremento h del punto in modo tale che il punto sia ancora nell’intervallo.
Siano i valori assunti dalla funzione nei punti .
Valgono le seguenti definizioni.

• Si dice incremento della variabile indipendente x nel passaggio dal punto
  [math]x_0[/math]
  al punto
  [math]x_o +h[/math]
  la quantità:
  [math]\Delta x=h[/math]
  .
  Dove il numero h può essere sia positivo che negativo e, si parlerà di incremento destro se h>0, di incremento sinistra se h<0.


• Si dice incremento della funzione
  [math]y=f(x)[/math]
  relativo al passaggio dal punto
  [math]x_0[/math]
  al punto
  [math]x_0+h[/math]
  la quantità
  [math]\Delta y =\Delta f(x)=f(x_0+h)-f(x_0)[/math]
  .


• Si dice rapporto incrementale della funzione
  [math]y=f(x)[/math]
  relativo al punto
  [math]x_0[/math]
  e all'incremento h il rapporto fra l'incremento
  [math]\Delta y[/math]
  registrato dalla funzione f(x) quando la variabile indipendente passa dal valore
  [math]x_0[/math]
  al valore
  [math]x_0+h[/math]
  , e l'incremento
  [math]\Delta x[/math]
  della variabile indipendente:

In particolare, si parla di rapporto incrementale destro se h>0 ,di rapporto incrementale sinistro se h<0.
Il rapporto incrementale rappresenta il tasso medio di incremento della funzione f nell'intervallo se h>0, nell’intervallo se h<0, cioè la pendenza media del diagramma della funzione nello stesso intervallo.

Definizione di derivata

La derivata di una funzione reale f(x) è un'altra funzione indicata con f'(x) definita come il limite del rapporto incrementale quando l’incremento tende a zero:



Per indicare la derivata di una funzione di equazione y=f(x) si possono usare diversi simboli in maniera differente:



Se di una funzione f(x) esiste la derivata in un punto si dice che la funzione è derivabile in quel punto. affinché una funzione sia derivabile in un punto deve quindi accadere che:

• la funzione sia definita in un intorno del punto altrimenti non sarebbe possibile valutare il rapporto incrementale;


• esista il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero;


• il limite sia un valore finito.

Se anche una sola delle condizioni sopra non si verifica, si dice che la funzione non è derivabile nel punto. Ne deriva che una funzione non è derivabile in ciascuno dei seguenti casi:

• se
  [math]x_0[/math]
  è un punto isolato;


• se il limite del rapporto incrementale è infinito;


• se il limite non esiste.

Derivata sinistra è derivata destra

In alcune situazioni non è possibile valutare il limite del rapporto incrementale in un intorno completo del punto . Se l'insieme di definizione di una funzione è un intervallo chiuso e limitato, non si può calcolare la derivata nei due estremi dell'intervallo; in essi: si può calcolare solamente il limite del rapporto incrementale per per .
I due limiti, destro e sinistro, del rapporto incrementale si definiscono derivata destra e derivata sinistra della funzione e si indicano come segue:







Dire che la funzione è derivabile nell'intervallo chiuso è limitato , significa dire che la funzione è derivabile per ogni e che è derivabile a destra nell'estremo a e a sinistra nell'estremo b.

Formule di derivazione

Data una funzione f è possibile definire una nuova funzione f’ primo detta funzione derivata prima di f che associa ad ogni punto in cui la funzione iniziale è derivabile la sua derivata. Se indichiamo con D il dominio della funzione f e con D’ il sottoinsieme di D in cui f è derivabile, la funzione derivata sarà così definita:





Vediamo un esempio
Calcoliamo la funzione derivata di .
La funzione è una parabola quadratica con vertice nell'origine, Si tratta di una semplice funzione polinomiale definita e continua in tutto R.
Scriviamo il rapporto incrementale relativo ad un generico punto x del dominio:




Sviluppiamo il quadrato di binomio e passiamo al limite:

[math]f’(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2+h^2+2hx-x^2}{h}[/math]



[math]f’(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^2+2hx}{h}[/math]



[math]f’(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(h+2x)}{h}[/math]



[math]f’(x)=\lim_{h \rightarrow 0} (h+2x)=2x[/math]



[math]f’(x)=2x[/math]

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale si ottiene la formula di derivazione delle funzioni elementari. Naturalmente esistono apposite tabelle, in quasi tutti i libri di testo di analisi matematica, dove sono riportate tutte le derivate delle funzioni elementari la cui conoscenza è fondamentale per applicare poi la regola di derivazione alle funzioni composte.


Per ulteriori approfondimenti sulle derivate vedi anche qui