Differenziale: definizioni e operazioni

Nel seguente appunto viene spiegato che cos'è il differenziale di una funzione a partire dalla definizione di derivata prima e di rapporto incrementale, sia a livello algebrico che a livello grafico. Viene inoltre spiegato come effettuare le operazioni somma, differenza, prodotto e quoziente tra i differenziali.

Il differenziale di una funzione

Se consideriamo una funzione

, derivabile in un intervallo

, sappiamo che comunque preso un punto

in tale intervallo, e incrementando

di un valore

in modo che

appartenga ancora ad

, la frazione che ha per numeratore la differenza tra la funzione calcolata in

e la funzione calcolata in

, e per denominatore

, si dice rapporto incrementale; inoltre, sappiamo che il limite per

Per ulteriori approfondimenti sulle derivate vedi anche qua

Ora, indichiamo con

l'incremento della variabile indipendente, cioè:

e con

l'incremento della variabile dipendente, cioè:

Per quanto detto prima, sappiamo che il limite per

che tende a zero del rapporto tra

e

corrisponde alla derivata della funzione:

Inoltre, dato che la funzione

è derivabile, sappiamo che la derivata

esiste sempre; in base al valore di

possiamo stabilire la relazione tra gli incrementi, e in particolare abbiamo che:

• se
  [math]f'(x)[/math]
  è costante e diversa da 0, allora
  [math]\Delta y[/math]
  e
  [math]\Delta x[/math]
  sono infinitesimi dello stesso ordine;
• se
  [math] f'(x) = 0 [/math]
  , allora
  [math]\Delta y[/math]
  è un infinitesimo di ordine superiore a
  [math]\Delta x[/math]
  .

Ricordando, poi, il concetto di scrittura fuori dal limite, possiamo scrivere il limite precedente in questo modo:

dove,

è funzione di

, e tale che il suo limite per

che tende a zero è zero.

Dalla relazione precedente, moltiplicando ambi i membri per

, otteniamo:

e l'espressione

, che si indica con

, o con

, prende il nome di differenziale della funzione

nel punto

, relativamente all'incremento

.

Quindi, il differenziale di una funzione in un punto, in cui la funzione è derivabile, corrisponde al prodotto della derivata della funzione stessa per l'incremento della variabile indipendente:

In particolare, se la funzione in questione è la funzione

, la sua derivata è uguale a 1, quindi il suo differenziale corrisponde all'incremento

:

Quindi, poiché il differenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento, possiamo affermare che il differenziale di una funzione è il prodotto tra la derivata della funzione stessa per il differenziale della variabile indipendente:

Operazioni con i differenziali

Possiamo calcolare il differenziale di funzioni in vari casi, per esempio nel caso di somma o differenza di funzioni, prodotto o quoziente di funzioni.

Le regole di derivazione che valgono per la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di funzioni valgono anche per calcolare tali differenziali.

In particolare, esaminiamo i vari casi:

Differenziale della somma algebrica di funzioni

Il differenziale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica dei differenziali delle singole funzioni:

Differenziale del prodotto di due o più funzioni

Il differenziale del prodotto di due funzioni è uguale alla somma del prodotto del differenziale della prima funzione per la seconda, più il prodotto della prima funzione per il differenziale della seconda:

Differenziale del quoziente di due funzioni

Il differenziale del quoziente di due funzioni è uguale ad una frazione che ha per denominatore il quadrato del divisore, e per numeratore il prodotto del differenziale del dividendo per il divisore diminuito del prodotto tra il dividendo e il differenziale del divisore:

Significato geometrico di differenziale

Consideriamo una funzione

, e la sua tangente

nel punto

.

Il differenziale della funzione

nel punto

, relativo a un incremento

, è l'incremento che subisce l'ordinata di un punto, muovendosi sulla retta tangente al grafico della funzione nel punto

, quando la sua ascissa passa da

a

.

Considerando la figura precedente, possiamo dire che il differenziale

è rappresentato dall'incremento dell'ordinata del punto

(di ascissa

), che si sposta lungo la tangente, fino ad arrivare al punto T, che ha ascissa

; il differenziale è, quindi, rappresentato dalla misura del segmento

.