Derivata: definizione e derivate fondamentali

In quest'appunto troverai la definizione matematica di derivata, a cosa serve e quali sono le derivate fondamentali. Si riportano le formule e le regole principali relative a questo argomento.

Quando è possibile derivare una funziona?

La derivata è uno dei concetti chiave dell'analisi matematica. Non tutte le funzioni, però, possono essere derivate. Una funzione è differenziabile (ovvero derivabile) in un certo intervallo del suo dominio solo se è continua in quell'intervallo. Quando si esegue uno studio di funzione, quindi, è molto importante accertarsi della sua continuità, ovvero se una funzione è continua oppure no in tutto il suo dominio. Qualora non lo fosse, si dice che essa ha dei punti di discontinuità. Questi possono essere di prima, seconda o terza specie e la loro presenza sancisce la non derivabilità di una funzione in un determinato punto.

Perchè derivare una funzione?

Sapere se una funzione è derivabile oppure no è fondamentale. Nel corso di uno studio di funzione, infatti, la derivata consente di determinare se la funzione è dotata di punti di massimo o di minimo (assoluti o locali) oppure di flessi. Per determinare questi elementi è necessario calcolare la derivata prima e seconda (cioè la derivata della derivata prima) della funzione stessa. La derivata prima di una funzione (indicata spesso con il simbolo f'(x)) è a sua volta una funzione: quella della tangente alla funzione di partenza in uno qualsiasi dei suoi punti. La pendenza di detta tangente esprime inoltre la pendenza della funzione base.

La definizione matematica di derivata

Si riporta qui di seguito quella che è in matematica la corretta definizione di derivata. La derivata di una funzione f(x) è un'altra funzione f'(x) definita da: Questo limite dev'essere valido per tutti i tutti i punti x per i quali il limite esiste.

Esempio

Si vuole mostrare che se allora . Assegnata una qualsiasi funzione, calcolare l'equazione della sua tangente non è difficile, in quanto il processo di "derivazione" di una funzione segue regole ben precise, imparate a memoria le quali, il procedimento può dirsi quasi meccanico. Questo appunto è pertanto dedicato ad illustrare quelle che sono le regole di derivazione (o semplicemente derivate) delle funzioni più comuni, in modo da poterle calcolare con facilità.

Le derivate fondamentali e come svolgerle

Conoscere le derivate fondamentali è importante per svolgere gli esercizi in modo rapido. Ecco l'elenco è completo, nel senso di tutte quelle che sono le derivate di uso più comune in analisi matematica.:

• derivate di costanti:
  [math]f(x)=C, f'(x)=0[/math]
• derivate di potenze:
  [math]f(x)=x^n, f'(x)=nx^(n-1)[/math]
  (sottogruppo delle quali sono le derivate delle funzioni lineari)
• derivate di radici
[math]f(x)=\sqrt(x), f'(x)= \frac{1}{2\sqrt(x)}[/math]
• derivate delle funzioni trigonometriche:
  [math]se f(x)=cosx, f'(x)=-sinx[/math]
  oppure
  [math]f(x)=senx, f'(x)=cosx[/math]
  oppure
  [math]f(x)=senx,f'(x)=\frac{1}{(cosx)^2}[/math]
• derivate di esponenziali
  [math]f(x)=e^x, f'(x)=e^x[/math]
• derivate di logaritmi
  [math]f(x)=log(x), f'(x)=1/(x)[/math]

Ci sono anche derivate più complesse:

• derivate del prodotto per una costante
  [math]g(x)=af(x), g'(x)=af'(x)[/math]
• derivate della somma di funzione
  [math](f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)[/math]
• derivate della moltiplicazione di due funzioni
  [math](f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)[/math]
• derivate del quoziente di due funzioni
  [math]\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}[/math]
• derivate delle funzioni inverse
  [math]f(x)^-1=\frac{1}{f'(x)}[/math]

Esercizi di applicazione delle derivate fondamentali con soluzioni

Svolgi le derivate delle seguenti funzioni:

• [math]2x[/math]
• [math]4x^2[/math]
• [math](cosx)^2[/math]
• [math]4x^2+16x^3[/math]
• [math]\frac{2x^2}{cosx}[/math]

Svolgimento

• Il primo è caso molto semplice di derivata del prodotto per una costante . Per cui:
  [math]g'(x)=2f'(x)[/math]
  ma
  [math]f(x)=2x[/math]
  quindi
  [math]g'(x)=2[/math]
• Anche in questo caso, la derivata della funzione
  [math]x^2[/math]
  va moltiplicata per 4. Quindi:
  [math]4\cdot2x=8x[/math]
• In questo caso, possiamo considerare
  [math]cosx=cosxcosx[/math]
  , quindi dobbiamo svolgere la derivata del prodotto di due funzioni. In particolare:
  [math]f'(x)=-senxcosx-cosxsenx=-2senxcosx [/math]
• La derivata della somma di due funzioni è pari alla somma delle derivate. Quindi:
  [math]16x+48x^2[/math]
• Questa è la derivata del rapporto di due funzioni. Si svolge così:
  [math]\frac{4xcosx+senx2x^2}{(cosx)^2}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle derivate vedi anche qua