Iniziamo con il darne la definizione: Il differenziale di una funzione
E sostenendo che la funzione
sia derivabile in un punto
affermiamo che:
A questo punto, se consideriamo la scrittura fuori dal segno del limite del rapporto incrementale si ha che:
Cioè stiamo affermando che:
A questo punto moltiplichiamo per
cioè per l'incremento, ambo i membri della nostra uguaglianza:
A questo punto indichiamo con
la differenza
e chiamiamo
il differenziale definito dal prodotto di
. La nostra uguaglianza, quindi, diventa la seguente:
Osserviamo adesso che
tende ad
se scegliamo
come infinitesimo campione, è un infinitesimo di ordine superiore al primo, infatti risultato il limite:
Visto che
è un infinitesimo quando
tende a
; ma se il termine
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
tende a
stando a quest'uguaglianza anche la differenza
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
tende a
; questo vuol dire che per valori molto piccoli dell'incremento
la differenza
assume valori molto prossimi allo
. Quindi, sempre quando
tende a
,
che è l'incremento della funzione, assume valori molto vicini a
che è il differenziale, ed è possibile quindi considerare il differenziale
come un'approssimazione dell'incremento della funzione
.
Ricordiamo adesso nuovamente la definizione di differenziale. Abbiamo detto che:
Mettiamoci nel caso particolare della funzione identica, la funzione è cioè:
In riferimento di questa funzione osserviamo che
può essere anche scritto come
. Quindi:
d\ x\ =\ Δx[/math]
Questa relazione giustifica il fatto di esprimere il differenziale di una funzione scrivendo
al posto di
.
Ritorniamo alla nostra definizione, abbiamo detto che
. Se indichiamo con
la funzione
possiamo esprimere:
NUOVA DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE
La derivata di una funzione può essere considerata come il rapporto tra il differenziale della variabile dipendente e il differenziale della variabile indipendente.
Per questa ragione scriviamo:
SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DIFFERENZIALE
Il differenziale di una funzione
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