DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DIFFERENZIALE
Iniziamo con il darne la definizione: Il differenziale di una funzione [math]f[/math]
in un punto [math]x[/math]
in cui essa è derivabile è il prodotto [math]f'(x) \cdot \Delta x[/math]
della derivata della funzione in quel punto (cioè in [math]f'(x)[/math]
) per l'incremento della variabile indipendente (cioè [math]\Delta x[/math]
).
E sostenendo che la funzione
[math]f[/math]
sia derivabile in un punto
[math]x[/math]
affermiamo che:
[math]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x) \neq \pm \infty[/math]
A questo punto, se consideriamo la scrittura fuori dal segno del limite del rapporto incrementale si ha che:
[math]\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ =\ f'(x)+ \varepsilon(\Delta x)[/math]
Cioè stiamo affermando che:
[math]\lim_{\Delta x \to 0}\ \varepsilon(\Delta x)\ =\ 0[/math]
in altre parole si dice che la quantità
[math] \varepsilon(\Delta x) [/math]
è
infinitesima.
A questo punto moltiplichiamo per
[math]\Delta x[/math]
cioè per l'incremento, ambo i membri della nostra uguaglianza:
[math]f(x+Δx)-f(x)\ =\ f'(x) \Delta x+ \varepsilon(\Delta x) \cdot \Delta x[/math]
A questo punto indichiamo con
[math]\Delta y[/math]
la differenza
[math]f(x+ \Delta x)-f(x)[/math]
e chiamiamo
[math]d\ f(x)[/math]
il differenziale definito dal prodotto di
[math]f'(x) \cdot \Delta x[/math]
. La nostra uguaglianza, quindi, diventa la seguente:
[math] \Delta y = d\ f(x)+ \varepsilon(x) \cdot \Delta x \to \Delta y-d\ f(x)\ =\ \varepsilon (x) \cdot \Delta x[/math]
Calcoliamo ora il limite:
[math]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\varepsilon (x)*\not{ \Delta x}}{\not{\Delta x}}\ =\ \lim_{\Delta x \to 0} \varepsilon(x)=0[/math]
Visto che
[math]\varepsilon(x)[/math]
è un infinitesimo quando
[math]\Delta x[/math]
tende a
[math]0[/math]
; ma se il termine
[math]\varepsilon (x) \to 0[/math]
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
[math]\Delta x[/math]
tende a
[math]0[/math]
stando a quest'uguaglianza anche la differenza
[math]\Delta y-d\ f(x)[/math]
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
[math]\Delta x[/math]
tende a
[math]0[/math]
; questo vuol dire che per valori molto piccoli dell'incremento
[math]\Delta x[/math]
la differenza
[math]Δy-d\ f(x)[/math]
assume valori molto prossimi allo
[math]0[/math]
. Quindi, sempre quando
[math]Δx[/math]
tende a
[math]0[/math]
,
[math]Δy[/math]
che è l'incremento della funzione, assume valori molto vicini a
[math]d\ f(x)[/math]
che è il differenziale, ed è possibile quindi considerare il differenziale
[math]d\ f(x)[/math]
come un'approssimazione dell'incremento della funzione
[math]Δy[/math]
.
Ricordiamo adesso nuovamente la definizione di differenziale. Abbiamo detto che:
[math]d\ f(x)\ =\ f'(x) \cdot \Delta x[/math]
Mettiamoci nel caso particolare della funzione identica, la funzione è cioè:
[math]f(x)\ =\ x[/math]
In riferimento di questa funzione osserviamo che
[math]d\ f(x)[/math]
può essere anche scritto come
[math]d\ x[/math]
. Quindi:
[math]d\ x\ =\ 1 \cdot \Delta x\\
d\ x\ =\ \Delta x[/math]
Tale scrittura risulterà utile poi nel calcolo integrale, in particolare nel caso di cambiamenti di variabili, occorre modificare il differenziale di conseguenza!
Questa relazione giustifica il fatto di esprimere il differenziale di una funzione scrivendo
[math]d\ x[/math]
al posto di
[math]Δx[/math]
.
Ritorniamo alla nostra definizione, abbiamo detto che
[math]d\ f(x)=f'(x) \cdot \Delta x[/math]
. Se indichiamo con
[math]y[/math]
la funzione
[math]f(x)[/math]
possiamo esprimere:
[math]dy=\ f'(x)*dx \to \frac{dy}{dx}\ =\ f'(x)[/math]
NUOVA DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE
La derivata di una funzione può essere considerata come il rapporto tra il differenziale della variabile dipendente e il differenziale della variabile indipendente.
Per questa ragione scriviamo:
[math]f'(x)\ =\ \frac{dy}{dx}[/math]
SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DIFFERENZIALE
Il differenziale di una funzione [math]f(x)[/math]
nel punto [math]x_{0}[/math]
è l'incremento dell'ordinata del punto [math]P[/math]
che si muove sulla retta tangente al grafico della funzione, in corrispondenza dell'incremento [math]Δx[/math]
della sua ascissa.
[math]dy=\ f'(x_{0}) \cdot \Delta x[/math]
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