DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DIFFERENZIALE
Iniziamo con il darne la definizione: Il differenziale di una funzione [math]f[/math]
in un punto [math]x[/math]
in cui essa è derivabile è il prodotto [math]f'(x)*Δx[/math]
della derivata della funzione in quel punto (cioè in [math]f'(x)[/math]
) per l'incremento della variabile indipendente (cioè [math]Δx[/math]
).
E sostenendo che la funzione
[math]f[/math]
sia derivabile in un punto
[math]x[/math]
affermiamo che:
[math]\lim_{Δx \to 0} \frac{f(x+ Δx)-f(x)}{Δx}=f'(x)\not=\infty[/math]
A questo punto, se consideriamo la scrittura fuori dal segno del limite del rapporto incrementale si ha che:
[math]\frac{f(x+ Δx)-f(x)}{Δx}\ =\ f'(x)+\ ε(\Delta x)[/math]
Cioè stiamo affermando che:
[math]\lim_{Δx \to 0}\ ε(\Delta x)\ =\ 0[/math]
A questo punto moltiplichiamo per
[math]Δx[/math]
cioè per l'incremento, ambo i membri della nostra uguaglianza:
[math]f(x+Δx)-f(x)\ =\ f'(x)Δx+\ ε(x)*Δx[/math]
A questo punto indichiamo con
[math]Δy[/math]
la differenza
[math]f(x+ Δx)-f(x)[/math]
e chiamiamo
[math]d\ f(x)[/math]
il differenziale definito dal prodotto di
[math]f'(x)*Δx[/math]
. La nostra uguaglianza, quindi, diventa la seguente:
[math]Δy=d\ f(x)+ε(x)*Δx \to Δy-d\ f(x)\ =\ ε(x)*Δx[/math]
Osserviamo adesso che
[math]Δx[/math]
tende ad
[math]x[/math]
se scegliamo
[math]Δx[/math]
come infinitesimo campione, è un infinitesimo di ordine superiore al primo, infatti risultato il limite:
[math]\lim_{Δx \to 0} \frac{ε(x)*\not{Δx}}{\not{Δx}}\ =\ \lim_{Δx \to 0} ε(x)=0[/math]
Visto che
[math]ε(x)[/math]
è un infinitesimo quando
[math]Δx[/math]
tende a
[math]0[/math]
; ma se il termine
[math]ε(x) \to 0[/math]
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
[math]Δx[/math]
tende a
[math]0[/math]
stando a quest'uguaglianza anche la differenza
[math]Δy-d\ f(x)[/math]
è un infinitesimo di ordine superiore al primo quando
[math]Δx[/math]
tende a
[math]0[/math]
; questo vuol dire che per valori molto piccoli dell'incremento
[math]Δx[/math]
la differenza
[math]Δy-d\ f(x)[/math]
assume valori molto prossimi allo
[math]0[/math]
. Quindi, sempre quando
[math]Δx[/math]
tende a
[math]0[/math]
,
[math]Δy[/math]
che è l'incremento della funzione, assume valori molto vicini a
[math]d\ f(x)[/math]
che è il differenziale, ed è possibile quindi considerare il differenziale
[math]d\ f(x)[/math]
come un'approssimazione dell'incremento della funzione
[math]Δy[/math]
.
Ricordiamo adesso nuovamente la definizione di differenziale. Abbiamo detto che:
[math]d\ f(x)\ =\ f'(x)*Δx[/math]
Mettiamoci nel caso particolare della funzione identica, la funzione è cioè:
[math]f(x)\ =\ x[/math]
In riferimento di questa funzione osserviamo che
[math]d\ f(x)[/math]
può essere anche scritto come
[math]d\ x[/math]
. Quindi:
[math]d\ x\ =\ 1*Δx\\
d\ x\ =\ Δx[/math]
Questa relazione giustifica il fatto di esprimere il differenziale di una funzione scrivendo
[math]d\ x[/math]
al posto di
[math]Δx[/math]
.
Ritorniamo alla nostra definizione, abbiamo detto che
[math]d\ f(x)=f'(x)*Δx[/math]
. Se indichiamo con
[math]y[/math]
la funzione
[math]f(x)[/math]
possiamo esprimere:
[math]dy=\ f'(x)*dx \to \frac{dy}{dx}\ =\ f'(x)[/math]
NUOVA DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE
La derivata di una funzione può essere considerata come il rapporto tra il differenziale della variabile dipendente e il differenziale della variabile indipendente.
Per questa ragione scriviamo:
[math]f'(x)\ =\ \frac{dy}{dx}[/math]
SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DIFFERENZIALE
Il differenziale di una funzione [math]f(x)[/math]
nel punto [math]x_{0}[/math]
è l'incremento dell'ordinata del punto [math]P[/math]
che si muove sulla retta tangente al grafico della funzione, in corrispondenza dell'incremento [math]Δx[/math]
della sua ascissa.
[math]dy=\ f'(x_{0})*Δx[/math]
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