Primitive e integrale indefinito

In questo appunto si descrive l'integrazione che è un concetto fondamentale dell'analisi matematica che ha origine da due problemi apparentemente diversi l'uno dall'altro ma che, sono intimamente collegati tra di loro. Il primo problema riguarda le funzioni: se conosciamo la derivata di una funzione

, come possiamo trovare l'equazione di

? Il secondo problema è legato alla determinazione dell'area di una figura piana il cui contorno è delimitato da una funzione e dall'asse delle ascisse oppure da più funzioni.

Se conosciamo le equazioni delle varie funzioni come possiamo trovare il valore dell'area da esse racchiusa? Perché i due problemi sono strettamente collegati? Perché per risolvere il secondo problema con un integrale definito, sarà necessario passare attraverso la risoluzione del primo, calcolando un integrale indefinito. Rivediamo in questo punto di analisi il concetto di primitiva, di integrale indefinito e di integrale definito.

Definizione di primitiva e di integrale indefinito

L’operazione di derivazione, quando è possibile, associa a una funzione un’altra funzione, la sua derivata, che è unica. Vogliamo ora affrontare il problema inverso della derivazione: data una funzione, esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data?
Per esempio, data la funzione

, ci chiediamo se esiste una funzione

la cui derivata sia proprio

. Una funzione di questo tipo viene detta primitiva di f(x). Se abbiamo studiato le derivate, riconosciamo che la funzione

ha come derivata

, quindi, possiamo affermare che

è una primitiva di

.
Diamo ora una definizione rigorosa:
Sia

una generica funzione reale definita in un intervallo

, si definisce primitiva di

nell’intervallo

la funzione

derivabile in

, tale che:

La primitiva di una funzione non è unica. Ecco altre funzioni che hanno come derivata

:

• [math]f(x)=x^2+1 \to f’(x)=2x[/math]
• [math]f(x)=x^2-\pi \to f’(x)=2x[/math]
• [math]f(x)=x^2+\sqrt{2} \to f’(x)=2x[/math]

Tutte queste funzioni differiscono per il termine noto, possiamo dire che la scrittura:

le rappresenta tutte.
Come avevamo intuito, le primitive di una funzione in un dato intervallo sono infinite e coincidono a meno di una costante.
Si dice integrale indefinito della funzione

l’insieme delle sue primitive e si indica come segue:

Caratterizzazione delle primitive, dimostrazione

Sia

una generica funzione reale definita in un intervallo

e

una sua primitiva. Allora, tutte e solo le primitive della funzione

saranno della forma

, con

.
Dimostrazione
Si prendono in considerazione due generiche primitive

e

della funzione

e si definisce una nuova funzione

costruita come differenza di

e

:

La derivata della funzione

è la differenza delle derivate delle funzioni componenti:

Applicando alla funzione

il teorema di Lagrange rispetto all’intervallo

e ponendo

, dovrà esistere un punto

tale che:

Cioè:

Da ciò risulta che

per ogni

.

Ponendo ora

(in quanto costante) risulta che anche

è costante per ogni

, e del resto la derivata

, nulla, indicava lo stesso.
Si potrà quindi affermare che:

Abbiamo provato che da una primitiva

se ne possono ottenere infinite altre aggiungendo ad essa costanti c diverse.
Poiché tutte le primitive di una funzione

sono funzioni del tipo

, geometricamente sono rappresentate da infinite curve piane ottenute dal grafico di F(x) mediante una traslazione verticale di vettore

; a ogni valore di c corrisponde una curva.
La primitiva

che si ottiene per

si chiama primitiva fondamentale.

Significato geometrico dell’integrale indefinito

Visto che l'integrale indefinito di una funzione è costituito da un insieme di funzioni i cui grafici si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazioni lungo l'asse y, i grafici, nei punti di uguale ascissa, hanno le tangenti parallele.
Tra il grafico di una funzione e il segno della derivata prima sappiamo che esiste il seguente legame:

• dove la derivata prima è positiva la funzione è crescente
• dove la derivata prima è negativa la funzione è decrescente

Questo legame si rivela utile per indagare sui grafici delle corrispondenti primitive

:

• negli intervalli in cui la funzione è positiva le primitive sono crescenti
• negli intervalli in cui la funzione è negativa le primitive sono decrescenti
• in corrispondenza degli zeri della funzione le primitive hanno tangente orizzontale.

Proprietà dell'integrale indefinito e metodi di calcolo

L'operazione di ricerca delle primitive di una funzione

si chiama integrazione indefinita, la funzione

si chiama funzione integranda e la variabile x è la variabile d’integrazione. Se k è un numero reale e se le funzioni integrande sono continue, valgono le seguenti proprietà di linearità:

• Proprietà di omogeneità: l'integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per l’integrale
• Proprietà additiva: l'integrale della somma di più funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni;

Queste due proprietà sono applicate in modo ricorrente nel calcolo degli integrali indefiniti.
Non esistono proprietà riguardanti l’integrale di un prodotto o di un quoziente di funzioni; quindi, è necessario studiare per tali casi altri metodi risolutivi.
Gli integrali indefiniti di tipo immediato sono gli integrali indefiniti delle funzioni elementari. In tutti i libri di analisi matematica è possibile reperire una tabella degli integrali indefiniti da consultare per lo svolgimento degli esercizi, in maniera del tutto analoga alla tabella delle derivate fondamentali.

Vediamo quali sono i metodi di integrazione

• Integrazione indefinita immediata
• Integrazione per scomposizione
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione per parti

Per approfondimenti sugli integrali indefiniti vedi anche qua

Integrazione operazione inversa della derivazione

Dalle regole di derivazione delle funzioni elementari ricaviamo gli integrali indefiniti fondamentali.
L’integrale indefinito di

è l’insieme delle primitive di

, cioè

. Scriviamo:

Riportiamo altri esempi:

Una funzione che ammette una primitiva (e quindi infinite primitive) si dice integrabile.
Quali sono le funzioni integrabili?
Si può dimostrare che è valido il seguente teorema.

Condizione sufficiente di integrabilità
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato

Integrale definito, cenni

Nelle applicazioni di carattere scientifico e tecnico si presentano spesso situazioni in cui la misura dell’area di una superficie delimitata dal grafico di una funzione è dall’asse delle ascisse, in un dato intervallo, assume un rilevante significato fisico. Perciò è importante imparare a calcolare la misura dell’area di una tale superficie. L’integrale definito è lo strumento matematico che consente di calcolare queste aree.
L’integrale definito ha un significato geometrico, a differenza dell’integrale indefinito che è un insieme di funzioni, questo è un numero che esprime il valore dell’area sottesa dal grafico della funzione integranda sull’intervallo di integrazione

una funzione continua nell’intervallo

, applicando la regola di calcolo, dal Teorema di Torricelli-Barrow, l’integrale definito si indica come segue:

Per calcolare l’integrale definito, si effettua prima l’integrazione indefinita, risalendo all’insieme delle primitive

, tra queste si sceglie quella fondamentale, ponendo c=0, e si calcolano i valori da essa assunti rispettivamente nel punto b e nel punto a.
L’integrale cercato è la differenza

che si esprime anche con la scrittura compatta:

Integrali impropri

Ci sono dei casi particolari che si presentano quando la funzione integranda è definita in intervalli illimitati oppure aperti in uno degli estremi. Gli integrali sono detti impropri.
Se gli intervalli sono illimitati, si hanno integrali impropri del primo tipo. Gli estremi di integrazione rientrano in uno dei seguenti casi:

• [math][a; +\infty)[/math]
• [math](-\infty; a][/math]
• [math](-\infty; +\infty)[/math]

Se l’intervallo d’integrazione è limitato ma aperto in un estremo o in entrambi, si hanno integrali impropri del secondo tipo definiti. Gli estremi di integrazione rientrano in uno dei seguenti casi:

• [math][a; b)[/math]
• [math](a; b][/math]
• [math](a; b)[/math]

Alcuni integrai impropri sono definiti integrali notevoli, ne riportiamo alcuni di seguito:

(integrale di Gauss)

(integrale di Eulero)

(integrale di Fresnel)

Vedi anche qui per approfondimenti sugli integrali impropri