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le primitive di una funzione e l'integrale definito

Definizione di primitiva e di integrale indefinito

Sia

[math]f[/math]
una generica funzione reale definita in un intervallo
[math][a,b][/math]
.
Si definisce primitiva di
[math]f[/math]
nell’intervallo
[math][a,b][/math]
la funzione
[math]F[/math]
derivabile in
[math][a,b][/math]
, tale che:


[math]F’(x) = f(x) \forall x \in [a,b][/math]

NOTA: le primitive di una funzione in un dato intervallo sono infinite e coincidono a meno di una costante.

Si dice integrale indefinito della funzione

[math]f[/math]
l’insieme delle sue primitive e si indica come segue:


[math]\int f(x) dx = F(x) + c \text{ con } c \in \textbf{R}[/math]


Caratterizzazione delle primitive

Sia

[math]f[/math]
una generica funzione reale definita in un intervallo
[math][a,b][/math]
e
[math]F[/math]
una sua primitiva.
Allora, tutte e solo le primitive della funzione
[math]f[/math]
saranno della forma
[math]F(x) + c[/math]
, con
[math]c \in \textbf{R}[/math]
.


Dimostrazione
Si prendono in considerazione due generiche primitive

[math]F[/math]
e
[math]G[/math]
della funzione
[math]f[/math]
e si definisce una nuova funzione
[math]H[/math]
tale che:


[math]H(x) = G(x) – F(x)[/math]

Calcolando la derivata della funzione

[math]H[/math]
risulta che:


[math]H’(x) = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0[/math]

Applicando alla funzione

[math]H[/math]
il teorema di Lagrange rispetto all’intervallo
[math][a,b][/math]
e ponendo
[math]a < x ≤ b[/math]
, dovrà esistere un punto
[math]x_0 \in [a,b][/math]
tale che:


[math]H’(x_0) = \frac{H(x) – H(a)}{x-a}[/math]

Cioè:


[math]H(x) – H(a) = H’(x_0) \cdot (x-a) = 0 \cdot (x-a) = 0[/math]

Da ciò risulta che

[math]H(x) = H(a)[/math]
per ogni
[math]x \in (a,b][/math]
.
Ora, ponendo
[math]H(a) = c[/math]
(in quanto costante) risulta che anche
[math]H(x)[/math]
è costante per ogni
[math]x \in [a,b][/math]
, e del resto la derivata
[math]H’(x)[/math]
, nulla, indicava lo stesso.
Si potrà quindi affermare che:

[math]G(x) – F(x) = H(x) = c \rightarrow G(x) = F(x) + c[/math]

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