Disequazioni di primo grado: regole

In questo appunto vengono descritti le disequazioni di primo grado. Le disequazioni sono un modello matematico molto interessante perché ci permettono di esprimere vincoli sulle variabili in gioco nei problemi che vogliamo risolvere. Possiamo giungere alla soluzione di problemi con procedimenti algebrici, rappresentando le variabili e le relazioni tra esse mediante un formalismo matematico. L’ottimizzazione vincolata è un ramo della matematica che fa ampio uso del concetto di disequazione.

In ogni disciplina di tipo scientifico o sociale questo concetto caratterizza i modelli che permettono appunto di “ottimizzare” alcune metodologie e processi come ad esempio nella logistica che permette di gestire al meglio l'immagazzinamento delle merci e i loro spostamenti. Scopriamo insieme le proprietà delle disequazioni di primo grado.

Richiami sulle identità ed equazioni

Lo studio delle disequazioni richiede conoscenze e competenze circa i simboli matematici di relazione, la risoluzione di equazioni, la scomposizione di polinomi, i radicali, l'insieme soluzioni di un sistema di equazioni. Si consiglia di rivedere bene questi argomenti prima di affrontare lo studio quelle disequazioni. Prima di iniziare facciamo un breve ripasso sulle equazioni.
Una identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche che è verificata qualunque siano i valori, appartenenti al dominio delle due espressioni, che vengono attribuiti alle variabili.
Un'equazione è l'uguaglianza fra due espressioni algebriche verificata solo quando le sue variabili assumono particolari valori; tali valori sono le sue soluzioni o radici.
In base al numero di soluzioni, un'equazione può essere:

• determinata se ha un numero finito di soluzioni
• indeterminata se ha un numero infinito di soluzioni
• impossibile se non ha soluzioni

Un'equazione può essere inoltre:
intera se i denominatori non contengono l'incognita, frazionaria in caso contrario;
numerica se l'unica lettera che compare è l'incognita, letterale se contiene anche altre lettere.
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Per passare da un'equazione ad un'altra ad essa equivalente si applicano due principi di equivalenza:
Primo principio: sommando ai due membri di un'equazione una stessa espressione non nulla
si ottiene una equazione equivalente a quella data.
Secondo principio: moltiplicando i due membri di una equazione per una stessa espressione non nulla si ottiene una equazione equivalente a quella data.
In virtù di questi due principi sono possibili le seguenti operazioni sulle equazioni:

• è possibile spostare un termine da un membro all'altro cambiando il suo segno
• due termini uguali in due membri diversi si possono elidere
• si può scrivere un'equazione intera in forma normale trasportando tutti i termini al primo membro
• se i due termini dell'equazione hanno un fattore comune numerico non nullo, questo può essere semplificato
• si possono cambiare i segni a tutti i termini di un'equazione
• si possono eliminare i denominatori dell'equazione moltiplicando entrambi i membri per il loro minimo comune multiplo

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione delle equazioni vedi qua

Disequazioni di primo grado

Una disequazione è una relazione della forma:

nella quale si chiede per quali valori della variabile x l'espressione

assume valori maggiori oppure minori dell'espressione

.
Nelle disequazioni di primo grado le due espressioni algebriche contengono solo potenze di primo grado dell'incognita.
Per le disequazioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le equazioni:

• il dominio di una disequazione è l'insieme dei valori che può assumere la variabile indicata con x;
• l’insieme delle soluzioni è costituito da tutti i valori di x che rendono vera la disuguaglianza;
• due disequazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti;
• una disequazione è intera se le espressioni
  [math]A(x) \ \ e \ \ B(x)[/math]
  sono di tipo polinomiale;
• una disequazione è frazionaria se ci sono anche delle frazioni algebriche i cui denominatori contengono l'incognita;
• il grado di una disequazione intera in forma normale è il grado del polinomio al primo membro
• una disequazione è scritta in forma normale se è scritta in questo modo:
  [math]A(x)>0 \ \ o \ \ A(x)>0[/math]
  ;

Risoluzione delle disequazioni di primo grado

Per determinare le soluzioni di una disequazione si applicano le proprietà delle diseguaglianze che dai numeri si estendono in modo naturale alle espressioni mediante l'applicazione dei due principi di equivalenza in maniera analoga alla equazioni.
Primo principio: Se hai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso.
Secondo principio: se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo k, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso; se si moltiplicano i due membri della disequazione per uno stesso numero negativo k, la disequazioni che si ottiene è equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso.

Anche per le disequazioni i due principi hanno una serie di conseguenze esaminiamole:

• è possibile spostare i termini da un membro all'altro purché se ne cambi il segno;
• si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio;
• si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per -1 che è un numero negativo;
• se nella disequazione ci sono denominatori numerici si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il minimo comune multiplo fra i denominatori;
• una disequazione frazionaria, che ha dei denominatori con l'incognita, non si può trasformare in una disequazione intera eliminando i denominatori perché essi hanno un segno che cambia a seconda del valore di x.

Per ulteriori approfondimenti sulle disequazioni frazionare vedi qua

Rappresentazione dell’insieme delle soluzioni

Voi gli insiemi che rappresentano le soluzioni di una disequazione si esprimono mediante relazioni della forma:

Dove a e b sono numeri reali.
Detto S l’insieme delle soluzioni

, si tratta di intervalli:

Questi insiemi si possono rappresentare graficamente sulla retta dei numeri reali; la convenzione grafica che si usa è la seguente:

• si traccia una linea continua in corrispondenza a delle soluzioni, una linea tratteggiata in corrispondenza della parte diretta che non interessa;
• si disegna un pallino pieno quando anche il punto estremo dell'intervallo fa parte delle soluzioni;

L’insieme delle soluzioni:

Indica tutti i punti della retta che si trovano prima di 5/9, questi verranno rappresentati con la linea continua rossa, quelli che non verificano la disequazione sono rappresentati con la linea tratteggiata:

L’insieme delle soluzioni:

Indica tutti i punti della retta che si trovano dopo 5/8, questi verranno rappresentati con la linea continua rossa, quelli che non verificano la disequazione sono rappresentati con la linea tratteggiata, l'estremo dell'intervallo è una soluzione e quindi è rappresentato con un pallino pieno:

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi qua