Equazioni, principi di equivalenza e regole operative

In questo appunto di algebra si tratta di equazioni, lo spauracchio di molti studenti. Cerchiamo insieme di capire cosa sono attraverso una panoramica generale a partire dalla definizione di identità. Proseguiamo con le varie classificazioni, in base al tipo di lettere che vi si presentano, al numero di soluzioni o radici e alla posizione delle incognite. Ripetiamo infine i due principi di equivalenza e tutte le regole operative che ne derivano, indispensabili per un corrette svolgimento degli esercizi.

Identità ed equazioni

se è vera per qualunque siano i valori che vengono attribuiti a tali variabili e che non facciano perdere di significato alle due espressioni. Sono delle identità tutte le relazioni che esprimono le proprietà delle operazioni, i prodotti notevoli, o le regole di scomposizione. Per verificare se un'uguaglianza è un'identità bisogna sviluppare i calcoli delle due espressioni e confrontare i risultati ottenuti, se sono uguali allora l'identità è verificata.
Ci sono delle relazioni di uguaglianza che non sono sempre vere, ma che lo diventano solo in alcuni casi.
ad esempio:

è vera solo se x assume valore 4:

Un'equazione è un'uguaglianza fra due espressioni algebriche che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti alle variabili. L’espressione algebrica che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si trova a destra si chiama secondo membro. Le lettere che compaiono nelle due espressioni algebriche rappresentano le incognite dell’equazione.
Nel nostro esempio:

• primo membro:
  [math]2x-3[/math]
• secondo membro:
  [math]x+1[/math]
• incognita:
  [math]x[/math]

Esistono equazioni con una o più incognite a seconda del numero di lettere di cui sono funzioni le due espressioni.

• [math]3x -2y=4[/math]
  , è un'equazione in due incognite x ed y
• [math]x^2-4x=2x-4[/math]
  , è un'equazione della sola incognita x

Il grado di un'equazione dipende dall'esponente che si trova sulle incognite. La prima equazione nelle due incognite x, y è un'equazione lineare cioè di primo grado.
La seconda equazione nella sola incognita x è un’equazione di secondo grado perché l’esponente massimo sulla x è due.
Con il termine dominio o insieme di definizione dell'equazione si intende l'insieme dei valori che è possibile attribuire alle incognite. All'interno del dominio vanno ricercate le soluzioni o radici dell'equazione, questi sono i valori che rendono vera l'uguaglianza tra i due membri.
L'equazione

ha soluzione 7 perché questo valore sostituito alla x rende vera l'uguaglianza: 7-5=2.
Risolvere un'equazione significa dunque trovare tutte le sue soluzioni.

Classificazione di un'equazione in base al numero di soluzioni

Quando si ricercano le soluzioni si possono presentare diversi casi in base al numero di soluzioni che le equazioni possiedono. I casi possibili sono tre:

• determinata: un'equazione che ha un numero finito di soluzioni, risolvendo un'equazione di questo tipo si trova una sola radice
• indeterminata; un'equazione che ha un numero infinito di soluzioni, se la variabile è una sola allora un'equazione indeterminata e anche una identità;
• impossibile: un'equazione che non ha soluzioni.

Osservazione: è possibile che un'equazione che risulti determinata in un certo dominio, sia impossibile in un altro. Ad esempio risolviamo l'equazione seguente:

la soluzione è x uguale a -2. In questo caso l'equazione risulta determinata negli insiemi Z, Q, o R; l'equazione è invece impossibile nell'insieme dei numeri naturali cioè in N, che non contiene gli interi negativi.

Equazioni numeriche, letterali, intere, fratte

In un'equazione le lettere che compaiono ai due membri possono avere sia il ruolo di incognite che quello di parametro. Per convenzione le incognite vengono indicate con le ultime lettere dell'alfabeto x, y oppure z; i parametri invece sono indicati con le prime, quindi a, b, c e così via.
In base al tipo di lettere che sono presenti in un'equazione esse si distinguono in:

1. equazioni numeriche che, oltre alla x non contengono altre lettere, come ad esempio
   
   [math]1+x=\frac{2}{3}x-1[/math]
2. equazioni letterali che contengono anche dei parametri come, ad esempio
   
   [math]ax+2=(a-1)x+a[/math]

In base alla posizione dell'incognita le equazioni si distinguono in intere e frazionarie.

• Nelle equazioni intere l'incognita non compare nei denominatori delle eventuali frazioni. Esempio di equazione intera:
  [math]\frac{x+1}{3}-\frac{1}{2}x=\frac{2x+4}{6}[/math]

  I denominatori ci sono ma sono numerici.

• Nelle equazioni fratte l'incognita si trova in almeno uno dei denominatori. Esempio di equazione fratta:
  [math]\frac{x-1}{x+1}-\frac{2x+3}{4}=1[/math]

Principi di equivalenza e regole operative

. Su questo principio si basa tutto il procedimento per risolvere un’equazione, infatti, l'idea chiave è quella di passare da un'equazione iniziale eventualmente complessa, ad un'altra equivalente riducendone man mano la complessità, fino ad arrivare a forme molto semplici dalle quali sia possibile giungere alla soluzione.
Come si fa a passare da un'equazione ad un'altra equivalente?
Le regole che ci permettono di eseguire le trasformazioni per ridurre la complessità di una equazione prendono il nome di principi di equivalenza, ne sono due ed hanno delle conseguenze pratiche molto importanti. Vediamone gli enunciati.
Primo principio di equivalenza: se ai due membri di un'equazione si aggiunge o si sottrae una stessa espressione algebrica si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Dal primo principio di equivalenza derivano:

• la regola del trasporto: è possibile spostare un termine da un membro all'altro di un'equazione purché se ne cambi il segno.
• la regola di cancellazione: se nei due membri di un'equazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere soppressi.

: se si moltiplicano o si dividono i due membri di un’equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Dal secondo principio derivano:

• la regola di semplificazione: si possono semplificare tutti i termini di un'equazione per uno stesso fattore comune, purché diverso da zero;
• la regola del cambio dei segni: se si cambiano i segni a tutti i termini di un'equazione, in entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente a quella data;
• la regola della riduzione a coefficienti interi: è possibile passare da un'equazione a coefficienti frazionari ad un'equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo tra i denominatori di tutte le frazioni.

Equazioni lineari e procedura di risoluzione

Le equazioni intere numeriche di primo grado si dicono anche lineari e sono le più semplici. La forma normale di una equazione lineare è la seguente:

dove a e b sono numeri e il dominio dell'equazione è R; il numero b, che non ha l'incognita, si dice termine noto. A partire da un'equazione qualsiasi, applicando i principi di equivalenza dobbiamo portarla nella forma normale per trovare il valore della x. Ottenuta questa forma bisogna ultimare con questi due passaggi:

• trasportare il termine noto al secondo membro
  [math]\to ax=-b[/math]
• dividere per il numero a, coefficiente della x,
  [math]\to x=-\frac{b}{a}[/math]

sempre che il coefficiente sia diverso da zero.
Vale il seguente prospetto per i tre casi visti sopra: determinata indeterminata impossibile.

• [math]a\neq 0 \to x=-\frac{b}{a} \to[/math]
  determinata
• [math]a=b=0 \to[/math]
  indeterminata
• [math]a=0 \wedge b\neq 0 \to [/math]
  impossibile

Esempio di risoluzione

Risolviamo l’equazione

.

applicando il primo principio di equivalenza trasportiamo il termine noto al secondo membro:

applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per 5:

semplifichiamo

Indichiamo con S l'insieme delle soluzioni:

Questa procedura può essere applicata per risolvere qualunque equazione di primo grado a condizione che il coefficiente della x non siano nullo.

Per approfondimenti sulle equazioni vedi anche qui