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Gli insiemi


Cos’è un insieme?


Un insieme è un raggruppamento di elementi aventi una caratteristica comune, che sia individuabile con un criterio oggettivo.

Esempio


- L’insieme dei fiumi italiani più lunghi. --> non è un insieme perché non è precisato cosa si intenda per “più lunghi”
- L’insieme dei fiumi italiani più lunghi di 100km --> è un insieme perché è possibile stabilire oggettivamente quali elementi costituiscono l’insieme stesso

Da cosa è formato un insieme?


Un insieme è formato dagli elementi

Come può essere un insieme?


Un insieme, a seconda degli elementi al suo interno può essere:
- finito, se contiene un numero finito di elementi
- infinito, se contiene infiniti elementi

Quando due insiemi sono uguali e quando un insieme è vuoto?


Dati due insiemi A e B, si dicono uguali se gli elementi di A sono anche gli elementi di B, e viceversa.


Esempio A = B se A = {1,2,3}; B = {1,2,3}

Un insieme si dice vuoto se è privo di elementi.

Come si rappresentano gli insiemi?


Gli insiemi si possono rappresentare in 3 diversi modi: per elencazione, per proprietà caratteristica e mediante diagrammi di Eulero-Venn. (vedi allegato)

Sottoinsiemi


Dati due insiemi A e B, si dice che B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A.

A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 9}
B = {x ∈ N | numeri pari 1 ≤ x ≤ 9}
In questo caso B è un sottoinsieme di A (A ⊃ B)

Un sottoinsieme si dice:
- improprio, se è l’insieme stesso oppure l’insieme vuoto
- proprio, in tutti gli altri casi

Simbologia dei sottoinsiemi


A ⊆ B --> A è contenuto in B (ossia: A è un sottoinsieme di B)
A ⊇ B --> A contiene B (ossia: B è un sottoinsieme di A)
A ⊂ B --> A è contenuto in B e A ≠ B
A ⊃ B --> A contiene B e A ≠ B

L’insieme delle parti

L’insieme delle parti di un insieme A, è l’insieme formato da tutti i suoi sottoinsiemi (quindi si ottengono tutte le combinazioni possibili. Si indica con P(A).

Esempio A = {a, b, c}
Insieme delle parti: P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},{b, c}, {a, b, c}}

Il numero dei sottoinsiemi si ottiene calcolando una potenza, avente per base 2 e per esponente il numero di elementi che compongono l’insieme A. --> 2n in cui n è il numero di elementi dell’insieme

Esempio A = {a, b, c} --> formato da 3 elementi
Numero sottoinsiemi:
[math]2^3^[/math]
= 8

Intersezione, unione e differenza tra insiemi


(vedi allegato)
- L’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A ∩ B, costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

Scrittura per proprietà caratteristica: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Esempio:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
L’insieme dell’Intersezione: A ∩ B = {4}

- L’unione di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A ∪ B, che è costituito dagli elementi che appartengono ad A o a B (o a entrambi).

Scrittura per proprietà caratteristica: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Esempio:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
L’insieme dell’Unione: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- La differenza di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A - B, costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

Scrittura per proprietà caratteristica: A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Esempio
A = {1, 4, 5}
B = {4, 6, 9}
L’insieme della differenza: A – B = {1, 5}

Insiemi complementari
Dato un insieme B, sottoinsieme di A, si dice complementare di B rispetto ad A, e si indica con il simbolo CAB oppure con il simbolo B ̅A, l’insieme A – B.

Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
B = {x ∈ N | numeri dispari 5 ≤ x ≤ 7 }

Partizione di un insieme
Dato un insieme A ed una serie di suoi sottoinsiemi, si dice che questi formano una partizione di A, se questi:
- non sono vuoti
- sono a due a due disgiunti
- la loro unione coincide con A

Esempio: A = {1, 2} B = {3, 4} quindi A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

Controesempio A = {1, 2} B = Ø quindi A ∪ B non forma una partizione, perché B è vuoto

Prodotto cartesiano
Dati due insiemi A e B, l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate, ottenute prendendo il primo elemento in A e il secondo in B, si chiama prodotto cartesiano (o semplicemente prodotto) di A per B.

Esempio A = {1, 2, 3} B = {a, b}
A × B = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

Per individuare quante coppie ordinate si otterranno basta calcolare il prodotto degli elementi di tutti gli insiemi.

Esempio:
A = {1, 2, 3} --> 3 elementi
B = {a, b} --> 2 elementi
2 x 3 = 6 elementi infatti A × B = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)} --> 6 elementi
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