Insiemi - Descrizione

Gli insiemi

Cos’è un insieme?

Un insieme è un raggruppamento di elementi aventi una caratteristica comune, che sia individuabile con un criterio oggettivo.

Esempio

• L’insieme dei fiumi italiani più lunghi. --> Non è un insieme perché non è precisato cosa si intenda per “più lunghi”.
• L’insieme dei fiumi italiani più lunghi di 100 km --> È un insieme perché è possibile stabilire oggettivamente quali elementi costituiscono l’insieme stesso.

Da cosa è formato un insieme?

Un insieme è formato dagli elementi.

Come può essere un insieme?

Un insieme, a seconda degli elementi al suo interno, può essere:

• Finito, se contiene un numero finito di elementi.
• Infinito, se contiene infiniti elementi.

Quando due insiemi sono uguali e quando un insieme è vuoto?

Dati due insiemi A e B, si dicono uguali se gli elementi di A sono anche gli elementi di B, e viceversa.

Esempio

A = B se A = {1,2,3}; B = {1,2,3}

Un insieme si dice vuoto se è privo di elementi.

Come si rappresentano gli insiemi?

Gli insiemi si possono rappresentare in 3 diversi modi: per elencazione, per proprietà caratteristica e mediante diagrammi di Eulero-Venn. (vedi allegato)

Sottoinsiemi

Dati due insiemi A e B, si dice che B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A.

A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 9}

B = {x ∈ N | numeri pari 1 ≤ x ≤ 9}

In questo caso B è un sottoinsieme di A (A ⊃ B).

Un sottoinsieme si dice:

• Improprio, se è l’insieme stesso oppure l’insieme vuoto.
• Proprio, in tutti gli altri casi.

Simbologia dei sottoinsiemi

• A ⊆ B --> A è contenuto in B (ossia: A è un sottoinsieme di B).
• A ⊇ B --> A contiene B (ossia: B è un sottoinsieme di A).
• A ⊂ B --> A è contenuto in B e A ≠ B.
• A ⊃ B --> A contiene B e A ≠ B.

L’insieme delle parti

L’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme formato da tutti i suoi sottoinsiemi (quindi si ottengono tutte le combinazioni possibili). Si indica con P(A).

Esempio

A = {a, b, c}

Insieme delle parti: P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},{b, c}, {a, b, c}}

Il numero dei sottoinsiemi si ottiene calcolando una potenza, avente per base 2 e per esponente il numero di elementi che compongono l’insieme A. --> 2n in cui n è il numero di elementi dell’insieme.

Esempio

A = {a, b, c} --> formato da 3 elementi

Numero sottoinsiemi:

Intersezione, unione e differenza tra insiemi

(vedi allegato)

• L’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A ∩ B, costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

Scrittura per proprietà caratteristica: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Esempio

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6}

L’insieme dell’intersezione: A ∩ B = {4}

• L’unione di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A ∪ B, che è costituito dagli elementi che appartengono ad A o a B (o a entrambi).

Scrittura per proprietà caratteristica: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Esempio

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6}

L’insieme dell’unione: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• La differenza di due insiemi A e B è l’insieme, indicato con A - B, costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

Scrittura per proprietà caratteristica: A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Esempio

A = {1, 4, 5}

B = {4, 6, 9}

L’insieme della differenza: A – B = {1, 5}

Insiemi complementari

Dato un insieme B, sottoinsieme di A, si dice complementare di B rispetto ad A, e si indica con il simbolo CAB oppure con il simbolo B ̅A, l’insieme A – B.

Esempio

A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

B = {x ∈ N | numeri dispari 5 ≤ x ≤ 7}

Partizione di un insieme

Dato un insieme A e una serie di suoi sottoinsiemi, si dice che questi formano una partizione di A, se questi:

• Non sono vuoti.
• Sono a due a due disgiunti.
• La loro unione coincide con A.

Esempio

A = {1, 2} B = {3, 4}, quindi A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.

Controesempio

A = {1, 2} B = Ø, quindi A ∪ B non forma una partizione, perché B è vuoto.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate, ottenute prendendo il primo elemento in A e il secondo in B, si chiama prodotto cartesiano (o semplicemente prodotto) di A per B.

Esempio

A = {1, 2, 3} B = {a, b}

A × B = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

Per individuare quante coppie ordinate si otterranno basta calcolare il prodotto degli elementi di tutti gli insiemi.

Esempio

A = {1, 2, 3} --> 3 elementi

B = {a, b} --> 2 elementi

2 x 3 = 6 elementi infatti A × B = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)} --> 6 elementi