Scomposizione di un polinomio: regole ed esempi

In questo appunto si descrive come scomporre (o fattorizzare) un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado inferiore. Il grado di un polinomio (in una o più variabili) è definito come il massimo esponente che compare all'interno di uno dei monomi che compongono il polinomio (nel caso di più variabili, si calcola la somma dei gradi delle variabili che compaiono in ogni monomio). Ad esempio, il polinomio

ha grado 5 poiché la massima somma degli esponenti di tutte le variabili si ha nel monomio ove la somma degli esponenti è .

Scomposizione (o fattorizzazione) dei polinomi

Scomporre un polinomio risulta utile in molti esercizi di matematica. Ad esempio, la scomposizione di un polinomio è utile nel momento in cui si risolve un'equazione fratta (o anche non fratta), nelle semplificazioni delle frazioni algebriche, nel calcolo integrale.

Per risolvere i tipi di esercizi elencati sopra più velocemente, è opportuno, quando possibile, scomporre i polinomi. Di seguito sono elencati i metodi più noti per la scomposizione di essi, corredati da esempi.

Raccoglimento a fattor comune o totale

Tale metodo viene utilizzato quando tutti i termini hanno un fattore comune il quale viene messo in evidenza fuori parentesi.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Notiamo che in tale polinomio, tutti i fattori sono multipli di . Possiamo quindi scrivere tale polinomio come prodotto tra il fattore comune (da qui il nome del metodo) e "quello che rimane" per raggiungere gli altri monomi. Ad esempio, per ottenere , è necessario moltiplicare per il monomio ; quest'ultimo, moltiplicato per e per , permette di ottenere rispettivamente e . Infatti, il polinomio scomposto è: .

Raccoglimento a fattore comune parziale o a gruppi

Qusto metodo viene utilizzato per raccogliere fattori comuni a gruppo, ad esempio quando non si può effettuare un raccoglimento totale, perché non c'è un monomio che è un divisore di tutti i monomi che compaiono nel polinomio.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Qui non possiamo effettuare un raccoglimento totale perché i monomi non hanno nessun fattore comune, ma possiamo considerarli "a gruppi". Il polinomio si può scrivere, applicando la regola del raccoglimento a fattor comune, raccogliendo la , ossia come . La parte "mancante" del polinomio, ossia , per ragioni analoghe, si può scomporre come .
Il nostro polinomio è quindi diventato , tuttavia, potremmo ora effettuare un raccoglimento totale, dato che i monomi presenti nel nostro polinomio sono tutti multipli di . Il polinomio di partenza si soompone quindi, raccogliendo il fattore , come:

Differenza di due quadrati, o somma per differenza

Questo metodo viene utilizzato quando il polinomio è un binomio formato dalla differenza di due quadrati. Esso si scompone come la somma per la differenza delle radici di tali quadrati. Molto spesso, quando si vede un binomio dato dalla differenza di due monomi che hanno grado pari, questo metodo torna molto utile.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Esso è una differenza tra due quadrati, in quanto è il quadrato di e è il quadrato di . Il polinomio dato come esempio si scompone quindi come la differenza per la somma di tali monomi, ossia: . Questo metodo è conosciuto, per quanto detto prima, anche come somma per differenza.
Attenzione! Non è sempre possibile (anzi, quasi mai!) scomporre una somma di due quadrati, ma una differenza di due quadrati invece sì.

Quadrato di binomio e quadrato di un trinomio

Quando il polinomio è un trinomio che rappresenta il quadrato di un binomio oppure il polinomio è un quadrato di trinomio, è opportuno riconoscere i doppi prodotti e i quadrati che vi compaiono, per scomporre il polinomio in questione.
Si ricorda che il quadrato di un binomio è dato dalla somma tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine, e il doppio prodotto tra il primo termine e il secondo termine.
Similmente, quadrato di un trinomio è dato dalla somma tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine, il quadrato del terzo termine, e il doppio prodotto tra il primo termine e il secondo termine, tra il primo e il terzo termine, tra il secondo e il terzo termine.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Possiamo "sospettare" che esso sia il quadrato di un binomio dal momento che compaiono ben due quadrati, ossia , quadrato di e , quadrato di . è effettivamente il doppio prodotto tra e . Infatti il polinomio in esempio si scompone come . Risulta interessante notare che all'interno di questo polinomio è possibile anche effettuare un raccoglimento totale, per aumentare ulteriormente i fattori di grado più basso.

Per approfondimenti sul quadrato di un binomio e sul quadrato di un trinomio vedi anche qua

Cubo di un binomio

Quando il polinomio è un quadrinomio, riconducibile ad un cubo di un binomio, è opportuno riconoscere i cubi e i tripli prodotti che vi compaiono.
Ricordiamo che il cubo di un binomio è dato dalla somma tra il cubo del primo termine e il cubo del secondo termine, più il triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo termine, più il triplo prodotto tra il quadrato del secondo termine e il primo termine.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Chiaramente e sono i cubi rispettivamente di e . Inoltre, gli altri monomi rimanenti sono i tripli prodotti calcolati come descritto qualche riga sopra. In definitiva, il polinomio si scompone come segue: .

Somma di due cubi e differenza di due cubi

Usiamo questa regola se il polinomio è un binomio che rappresenta la somma di due cubi o la differenza di due cubi. Si può scomporre come la differenza tra le radici cubiche dei monomi in questione, per il loro falso quadrato.
Ricordiamo che il falso quadrato di un polinomio è dato da , a differenza del quadrato di un binomio ove sarebbe comparso invece un , senza variazioni di segno.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Considerati i cubi rispettivamente di e , il polinomio nell'esempio è dato dalla differenza dei loro cubi. Si scomporrà quindi come prodotto tra la loro differenza e il loro falso quadrato. Infatti: .
Nel caso del polinomio , invece, la scomposizione sarebbe stata .

Trinomio di secondo grado o trinomo speciale

Se il polinomio è un trinomio di secondo grado che si presenta nella forma , allora bisogna cercare due numeri , la cui somma faccia e il prodotto faccia . Il polinomio in questione si scomporrà come .
Esempio: Consideriamo il polinomio , bisogna cercare due numeri che sommati danno 6 e moltiplicati danno 8: sono 4 e 2. Infatti, il polinomio si scompone come: .

Metodo di Ruffini

Ci permette di scrivere il polinomio come prodotto tra un binomio di grado 1 e un altro polinomio di grado , dove è il grado del polinomio di partenza. Risulta inoltre necessario applicare il Teorema del Resto, secondo il quale un polinomio

[math]P(x)[/math]

è divisibile per il binomio

[math]x-a[/math]

se

[math]P(a)=0[/math]

., e poi applicare la Regola di Ruffini. Per scegliere un opportuno valore di , bisogna andare a cercarlo tra i divisori del termine noto.
Esempio: Consideriamo il polinomio . Sostituendo , divisore del termine noto, alla variabile, otteniamo proprio . Applicando la Regola di Ruffini, otteniamo la scomposizione del polinomio di partenza: .

Per approfondimenti sulla regola di Ruffini vedi anche qua