Equazioni di primo grado: caratteristiche e principi di equivalenza

In questo appunto di Algebra è presente una introduzione al mondo delle equazioni: definizione, classificazione, principi e esempi. All'interno del testo è possibile trovare esempi pratici dei primo e del secondo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado con relativa spiegazione teorica di questi due principi.

Cosa sono le equazioni

Con il termine equazione, in matematica, indichiamo un'eguaglianza tra espressioni matematiche in cui sono presenti una o più incognite. Risolvere un'equazione vuol dire quindi trovare quei valori numerici che, sostituiti al posto dell'incognita, verificano l'equazione, cioè rendono vera l'uguaglianza. Nella risoluzione dell'equazione è necessario notare che, a priori, non possiamo dare per scontato che esistano soluzioni. Potremmo anche trovarci nella situazione in cui, risolvendola, si scopre che essa è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita: in questo caso l'equazione presa in esame è in realtà un'identità.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua

Tipologie di equazioni di primo grado

In base alle sue caratteristiche un'equazione può essere classificata secondo diverse tipologie. Un primo tipo di classificazione può essere effettuata concentrandosi sulla tipologia di espressioni e operazioni che compaiono, andando a distinguere le equazioni tra: algebriche e trascendenti.

• Equazioni Algebriche: sull'incognita vengono effettuate operazioni algebriche: somma, differenza, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice
• Equazioni Trascendenti: l'incognita compare nell'argomento di funzioni esponenziali, logaritmiche o goniometriche

Da questa macro categorizzazione si può scendere più nello specifico andando ad individuare le diverse tipologie di operazioni che compaiono all'interno dell'equazione:

• Equazioni Numeriche: sono presenti solo numeri, fatta eccezione per l'incognita
• Equazioni Letterali: oltre all'incognita sono presenti altre lettere che svolgono il ruolo di costanti
• Equazioni Intere: non ci sono frazioni o, nel caso ci fossero, se l'incognita non compare in nessun denominatore
• Equazioni Fratte: l'incognita compare in almeno un denominatore
• Equazioni Razionali: l'incognita non è sotto il segno di radice
• Equazioni Irrazionali: l'incognita compare sotto il segno di radice; anche qui bisogna fare attenzione: se all'interno dell'equazione sono presenti radici radici, non è detto che l'equazione sia irrazionale. Bisogna verificare se sotto una o più di quelle radici vi compare l'incognita.

Se proviamo ad esaminare le soluzioni di un'equazione e andiamo a concentrarci sulle diverse soluzioni possibili, allora individuiamo 3 categorie di equazioni:

• Equazione Determinata: ammette un numero finito di soluzioni
• Equazione Indeterminata: ammette infinite soluzioni
• Equazione Impossibile: non ammette soluzioni

Forma normale di un'equazione

La definizione di equazione ridotta a forma normale è la seguente: un equazione è ridotta a forma normale se è nella forma in cui il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero. Volendo fare un esempio di riduzione a forma normale di un equazione, possiamo prendere in esame il seguente caso risolutivo:

Grado di un'equazione

Il grado di un'equazione può essere calcolato dopo aver ridotto l'equazione in esame alla forma normale, una volta fatto ciò, il grado dell'equazione corrisponde al grado del polinomio che si trova a primo membro dell'equazione, ovvero, il grado massimo con cui compare l'incognita.

Primo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado

Tale principio afferma che: aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione uno stesso numero oppure una stessa quantità si ottiene un equazione equivalente a quella data. Il seguente esempio mette in atto praticamente il principio appena enunciato:

A tal punto possiamo dire che questa è un'equazione. Ora andiamo a dimostrare che la proprietà dell'equazione appena descritta è veritiera. Ipotizziamo di aggiungere un certo numero (ad esempio 7) all'equazione sovrastante.

Questo principio ci permette di:

1. Trasportare i termini da un membro ad un altro, cambiando di segno
2. Eliminare nello stesso membro due termini opposti
3. Eliminare in due membri diversi due quantità uguali

Seconda principio di equivalenza delle equazioni di primo grado

Questa seconda proprietà delle equazioni di primo grado afferma che moltiplicando o dividendo ambo i termini di una equazione per uno stesso numero o una stessa quantità diversa da zero si ottiene una equazione equivalente a quella data. Procediamo con il seguente esempio per chiarire l'enunciato:

Moltiplico per una stessa quantità in questo caso 2:

Questo secondo principio ci permette di:

1. Cambiare segno a tutti i termini di una equazione
2. Eliminare il coefficiente all'incognita
3. Eliminare un denominatore numerico in una equazione

Per ulteriori approfondimenti sui principi di equivalenza delle equazioni di primo grado vedi anche qua