Equazioni di primo grado: regole

In questo appunto di matematica si trattano le equazioni di primo grado ed i principi di cui godono grazie ai quali è possibile risolverle, inoltre vengono esposti degli esempi esplicativi di calcolo.

Definizione di equazione

Chiameremo equazione la scrittura che si ottiene interponendo il segno di uguaglianza fra due espressioni contenenti (una o entrambe) una o più incognite, e nel caso in cui le due espressioni siano identiche, l’equazione prende il nome di identità).
Tali espressioni che costituiscono una equazione, separate dal segno di uguale si chiamano membri dell’equazione: a sinistra avremo il primo membro e a destra il secondo membro.
Chiameremo soluzione di una equazione in una o più incognite, un numero, o una coppia, o una terna ecc.

(a seconda del tipo di equazione) ordinata di numeri appartenenti a prefissati insiemi, che sostituiti ciascuno alla corrispondente incognita, fanno assumere valori uguali ai due membri dell’equazione.
Risolvere una equazione significa trovare tutte le sue soluzioni.
Il campo selle equazioni che ci approssimiamo a studiare, se ammettono soluzioni, queste sono numeri reali.
Nella ricerca delle soluzioni si possono avere i seguenti casi:

• equazione determinata;
• equazione indeterminata;
• equazione impossibile.

Nel caso in cui si abbia una equazione determinata si ha un numero finito di soluzioni reali, che dipendono dal tipo di equazione da risolvere.
Invece, se l’equazione è indeterminata si ha un numero infinito di soluzioni, ossia qualsiasi valore si assegni alle incognite, l’equazione risulta verificata ed il primo membro è uguale al secondo.
Se l’equazione è impossibile vuol dire che non esistono valori reali dell’incognita che soddisfano la relazione espressa dall’equazione, in questo caso diremo che l’equazione non ammette soluzioni reali.
In sintesi diremo che un’equazione si dice possibile se ammette almeno una soluzione, mentre la chiameremo impossibile se non ne ammette alcuna. Le equazioni possibili a sua volta si dividono in determinate o indeterminate a seconda che le loro soluzioni siano in numero finito o infinito.

Caratteristiche delle equazioni

Le equazioni letterali o parametriche sono quelle equazioni che oltre alle variabili contengono delle costanti o parametri (espressi in forma letterale). Di tali parametri non si richiede di determinarne il valore durante la risoluzione di un’equazione, poiché rappresentano quantità note.
Le equazioni in cui non compaiono altre lettere al di fuori delle variabili, vengono chiamate equazioni numeriche.
Una equazione si dice razionale se le operazioni da eseguire sulle incognite sono soltanto addizioni algebriche, moltiplicazioni (comprese le potenze ad esponente intero) e divisioni.
Distingueremo fra

• equazione intera
• equazioni fratta (o frazionaria).

La prima è un’equazione razionale dove entrambi i membri sono espressioni algebriche intere; nella seconda le variabili possono comparire anche a denominatore.
Infine diremo che due equazioni sono equivalenti se ammettono lo stesso insieme S di soluzioni: ogni soluzione della prima equazione è soluzione anche della seconda (e viceversa).

Principi di Equivalenza

Al fine di trovare le soluzioni di un’equazione si devono tenere presenti alcuni principi che dettano le regole di risoluzione.
Il Principio Preliminare afferma che:
se si effettuano operazioni secondo le regole del calcolo algebrico su uno o su entrambi i membri di un’equazione A = B si ottiene una equazione equivalente A’ = B’.
Dalle proprietà dell’uguaglianza si deduce che:
se a = b
allora

• a + c = b + c
• a - c = b – c
• a * c = b * c
• a : d = b : d

dove

Le precedenti espressioni hanno un significato ben preciso, ossia, se si somma la stessa quantità ad entrambi i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente; se si sottrae la stessa quantità ad entrambi i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente; se si moltiplicano per la stessa quantità entrambi i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente; se si dividono per la stessa quantità (diversa da zero) entrambi i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.
Da questa considerazione ne segue il Primo Principio di Equivalenza: l’equazione ottenuta aggiungendo o togliendo ad ambo i membri di una equazione data uno stesso numero o, più in generale, una stessa espressione algebrica è equivalente all’equazione data.
Tale principio ha due conseguenze fondamentali.
La prima di queste ci dice che sopprimendo uno stesso addendo nei due membri di un’equazione otterremo un’altra equazione equivalente alla prima.
La seconda conseguenza è che trasportando un addendo da un membro all’altro di un’equazione, dopo averlo cambiato di segno, si ottiene un’equazione equivalente alla prima. In base a quest’ultima affermazione se ne conclude che è sempre possibile trasformare un’equazione in un’altra equivalente nella quale uno dei due membri è uguale a zero.
Il Secondo Principio di Equivalenza afferma che:
l’equazione che si ottiene moltiplicando o dividendo entrami i membri di una equazione data, per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica che non si annulli o perda significato per alcun valore attribuito alla incognite dell’equazione data, è equivalente a questa.
Dal Secondo Principio di Equivalenza discendono tre importanti corollari.

• Il primo ci dice che se i due membri di un’equazione contengono un fattore comune diverso da zero, sopprimendo tale fattore si ottiene una equazione equivalente alla data.
• Il secondo asserisce che cambiando di segno ad entrambi i membri di una equazione si ottiene una equazione equivalente alla data.
• Il terzo corollario afferma che moltiplicando entrambi i membri di una equazione intera a coefficienti frazionari per un numero opportuno, la si può trasformare in una equazione equivalente a coefficienti interi.

Grado di un’equazione

Sia dato il polinomio A, il suo grado, rispetto alle incognite considerate come variabili, si assume grado dell’equazione A = 0 e di tutte le equazioni che sono equivalenti a questa.
Il grado di una qualunque equazione indica il numero di soluzioni che questa ammette; si ricorda che se una equazione non ammette soluzioni nell’insieme dei numeri reali, può averne nell’insieme dei numeri complessi.
Una equazione di primo grado è rappresentata da un polinomio in cui la variabile ha grado uno.
Una equazione di primo grado avrà al massimo una soluzione reale.

Risoluzione di un’equazione di primo grado ad una sola incognita

Applicando i Principi di equivalenza è possibile trasformare una qualunque equazione razionale di primo grado (intera o frazionaria) in un’altra equivalente alla prima, nella forma

essendo A un polinomio privo di termini simili.
Diremo che un’equazione di primo grado è ridotta alla forma normale o canonica se è del tipo

dove x è la variabile ed a e b numeri reali o espressioni parametriche.
Questo tipo di equazioni vengono chiamate anche equazioni lineari.
Al fine di risolvere un'equazione di primo grado ad una incognita si deve trovare quell'unico valore numerico dell'incognita che sostituito alla variabile nell’equazione, soddisfa l'equazione stessa.
Esempio 1:

la precedente è un’equazione di primo grado razionale intera, nella variabile x.
Si esegue il minimo comune multiplo fra i denominatori:

in base la Secondo Principio posso moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per uno stesso numero (15 in questo caso) ed ottenere una equazione equivalente a quella di partenza.

ottenendo

Adesso, in base al Primo Principio di Equivalenza, aggiungo -10 ad entrambi i membri dell’equazione:

ottenendo

da cui, dividendo entrambi i membri per -8

quindi si ottiene

Esempio 2:

la precedente uguaglianza rappresenta una equazione razionale fratta di primo grado nella sola incognita x.
Si scompongono i denominatori al fine di poter calcolare il minimo comune multiplo:

Si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione per la stessa quantità pari a 2(x – 2)(x + 3).
In questo caso bisogna imporre delle condizioni secondo le quali il denominatore non può annullarsi:

quindi

Quindi nel caso di equazioni fratte si deve determinare l’insieme di esistenza ossia l’insieme numerico in cui le soluzioni dell’equazione che stiamo cercando di risolvere siano accettabili.
Nel caso in cui si abbia una equazione razionale fratta tale insieme lo si trova escludendo dall’insieme dei numeri reali, quei valori per cui si annullerebbe il denominatore dell’equazione.
In questo caso particolare abbiamo:
∀ x ∈ R - {-3, 2}.
Imposte tali condizioni si può eliminare il denominatore:

spostando i termini con la x a primo membro e quelli numerici a secondo membro e cambiando di segno quando si passa da un membro all’altro, si ottiene che:

Esempio 3:

La precedente è un’equazione parametrica di primo grado nella variabile x.
La prima cosa da fare è distinguere tra incognita, x, e parametri a, b, c.
L'equazione deve essere risolta rispetto all'incognita in funzione dei parametri, trattando questi come numeri noti.

Utilizziamo ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

A questo punto si analizzano i vari casi possibili a seconda dei valori delle lettere presenti.
Se

e quindi

possiamo dividere per il coefficiente di x ricavando l'unica radice dell'equazione

che assume valori diversi a seconda della scelta di a, b, c.
Se invece

possiamo distinguere i due casi seguenti:

• nel primo caso si ha che b − 4c ≠ 0 ossia b ≠ 4c
  che rende l'equazione della forma
  0x = b − 4c
  quindi l’equazione risulta impossibile;
• nel secondo caso si ha che b − 4c = 0 ossia b = 4c
  che rende l'equazione della forma
  0x = 0
  in questo caso l’equazione risulta indeterminata (cioè soddisfatta per infiniti valori dell'incognita).

per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua