Polinomi – Concetti generali

Definizione

Si definisce polinomio un'espressione algebrica che è costituita dalla somma algebrica (addizione o sottrazione) di due o più monomi.

Esempio:

7x + 4xy - 5z

Questi monomi costituiscono i “termini del polinomio”; in particolare, quando un termine è una costante viene detto “termine noto” perché il suo valore non dipende da alcuna variabile.

Esempio:

7x + 4xy – 5z +3 x^2 -9

termini del polinomio termine noto

Riduzione a forma normale

Un polinomio si dice ridotto a forma normale se tutti i monomi che lo compongono non sono simili e sono ridotti in forma normale (1 solo coefficiente e tutte variabili diverse come parte letterale). Se un polinomio non è già ridotto in forma normale, è sempre riducibile.

Esempi:

2x^2 – 3xy + 4 ridotto a forma normale

3x4y + 9xy -6 non ridotto a forma normale ---> 12xy + 9xy – 6 ---> 21xy - 6

Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio può essere definito in base a 2 valori:

• Rispetto a una variabile, in cui si tiene in considerazione una sola variabile e la considera al grado maggiore con il quale compare;
• Complessivo, che è il massimo grado dei suoi termini: in questo caso, dunque, si considerano i gradi complessivi di ciascun monomio.

Esempi:

2x^2 – 3xy + 4 grado rispetto a x=2 grado rispetto a y=1

grado complessivo=2

6xy^2z^3 – 4x^2 + 10z^4y grado rispetto a x=2 grado rispetto a y=2

grado rispetto a z=4 grado complessivo=6

È bene ricordarsi sempre, prima di affermare il grado di un polinomio, di controllare che il polinomio sia già stato ridotto in forma normale.

Polinomi “particolari”

Un polinomio si dice:

• Omogeneo se tutti i suoi termini presentano lo stesso grado complessivo;
• Ordinato se, rispetto a una variabile, i valori con cui compare sono posti in ordine crescente o decrescente; in questo caso possono presentarsi dei salti (per esempio dal grado 3 al grado 1, ma ciò non interessa, basta che essi siano in ordine), inoltre è bene sapere che ogni polinomio è ordinabile;
• Completo se, rispetto a una variabile, esso presenta tutti i suoi valori dal grado zero al grado massimo con cui compare; non serve che sia ordinato;

Esempi:

2x^4 + 3xy^2z – 7z^4 → è omogeneo perché tutti i suoi termini presentano grado complessivo 4

2y^3 – 4y^2 + 2 → è ordinato in senso decrescente rispetto alla variabile y (si può considerare il 2 come se fosse scritto 2y^0, cioè 2 X 1)

4x + 7 x^3y - 5 + x^2 → è completo rispetto alla variabile x, in quanto essa compare dal grado massimo (3) a quello minimo (termine noto, grado 0)

Infine, due polinomi sono uguali se presentano gli stessi termini con lo stesso segno davanti, mentre si dicono opposti se i valori assoluti sono gli stessi, ma i segni dei rispettivi termini sono opposti.

Esempi:

• 3x^2 + 4y e 3x^2 + 4y sono tra loro polinomi uguali
• 3x^2 - 4y e -3x^2 + 4y sono tra loro polinomi opposti